物理 / 気体の熱力学

断熱変化の式を第 1 法則から導く

最難関編断熱変化第 1 法則ディーゼル機関

問題

理想気体の断熱変化について、次の順に考える。定積モル比熱を $C_{V}$ 、比熱比を $γ = \frac{C _{P}}{C _{V}}$ 、マイヤーの関係を $C_{P} - C_{V} = R$ とする。

同じ点を通る等温線と断熱線。断熱線のほうが急なのは、指数が γ=1.4 と大きいためである。

(1) 断熱変化では $Q = 0$ である。 $n$ mol の気体が体積を $Δ V$ だけ変えたとき、第 $1$ 法則が $n C_{V} Δ T = - P Δ V$ となることを示せ。

(2) 状態方程式 $P V = n R T$ の両辺の変化を考えると $P Δ V + V Δ P = n R Δ T$ が成り立つ。(1) と合わせて、 $\frac{Δ P}{P} = - γ \frac{Δ V}{V}$ を導け。

(3) (2) の関係から $P V^{γ}$ が一定に保たれること、したがって $T V^{γ - 1}$ も一定になることを説明せよ。

(4) ディーゼル機関では、空気を圧縮比 $15$ (体積を $\frac{1}{15}$ )まで断熱圧縮する。 $300 K$ の空気( $γ = 1.4$ )の温度は何 K になるか。 $1 5^{0.4} = 2.95$ とする。軽油の発火点は約 $500 K$ である。

ヒントを見る

断熱で気体が膨張すると、そのエネルギーはどこから来るか。状態方程式は変化の前後どちらでも成り立つ。

解答・解説

方針

断熱では熱の出入りがないので、内部エネルギーの変化がそのまま仕事になる。状態方程式の変化分と組み合わせると、圧力と体積の相対変化の関係が出る。それが $P V^{γ}$ 一定という形にまとまる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $P V^{γ} =$ 一定は与えられて使うことが多いが、どこから来るのかを追う。

出発点は第 $1$ 法則である。断熱では $Q = 0$ なので、気体が仕事をした分だけ内部エネルギーが減る。「エネルギー源は自分の内部エネルギーしかない」というのが断熱変化の本質である。

これに状態方程式を組み合わせると、 $P$ と $V$ の相対的な変化の関係が出る。そこから指数 $γ$ が現れる。

① 第 $1$ 法則。 断熱だから $Q = 0$ である。

$Δ U = Q - W = - P Δ V$

一方、理想気体の内部エネルギーの変化は $Δ U = n C_{V} Δ T$ と書ける。

$n C_{V} Δ T = - P Δ V$

膨張( $Δ V > 0$ )すれば温度が下がる、という関係である。

② 相対変化の関係。 状態方程式の変化分から

$P Δ V + V Δ P = n R Δ T$

① より $n Δ T = - \frac{P Δ V}{C _{V}}$ だから、これを代入する。

$P Δ V + V Δ P = R \cdot (- \frac{P Δ V}{C _{V}}) = - \frac{R}{C _{V}} P Δ V$

$V Δ P = - (1 + \frac{R}{C _{V}}) P Δ V$

マイヤーの関係 $R = C_{P} - C_{V}$ を使うと

$1 + \frac{R}{C _{V}} = 1 + \frac{C _{P} - C _{V}}{C _{V}} = \frac{C _{P}}{C _{V}} = γ$

$V Δ P = - γ P Δ V ⟹ \frac{Δ P}{P} = - γ \frac{Δ V}{V}$

重要断熱では「圧力の相対変化」が「体積の相対変化」の

- γ

倍になる

③ $P V^{γ}$ が一定であること。 ② は「 $P$ が $1 %$ 増えるとき $V$ は $\frac{1}{γ} %$ 減る」ことを意味する。

積 $P V^{γ}$ の相対変化を見ると

$\frac{Δ ( P V ^{γ} )}{P V ^{γ}} = \frac{Δ P}{P} + γ \frac{Δ V}{V} = 0$

変化しないので $P V^{γ}$ は一定である。

さらに $P V = n R T$ から $P = \frac{n R T}{V}$ を代入すると

$\frac{n R T}{V} V^{γ} = n R T V^{γ - 1} = (一定)$

よって $T V^{γ - 1}$ も一定である。

④ ディーゼル機関。 $T V^{γ - 1}$ が一定だから

$T_{2} = T_{1} (\frac{V _{1}}{V _{2}})^{γ - 1} = 300 \times 1 5^{0.4} = 300 \times 2.95 \approx 8.9 \times 1 0^{2} K$

$890 K$ は軽油の発火点 $500 K$ をはるかに超える。だから点火プラグがなくても、燃料を噴射するだけで自然に着火する。

体積を 15 分の 1 まで断熱圧縮すると、温度は約 3 倍の 890 K になる。

まとめ $P V^{γ} =$ 一定は、第 $1$ 法則と状態方程式とマイヤーの関係から導かれる。 $γ$ が指数に現れるのは、 $1 + \frac{R}{C _{V}}$ がちょうど $\frac{C _{P}}{C _{V}}$ になるからである。

発展 — 一歩先へ。 ガソリン機関の圧縮比が $10$ 程度に抑えられているのは、圧縮しすぎると点火の前に自然着火してしまう(ノッキング)からである。

ディーゼル機関は逆に、その自然着火を利用する。圧縮比を大きくとれるぶん、理論的な効率も高い( $1 - \frac{1}{r ^{γ - 1}}$ の形で、圧縮比 $r$ が大きいほど効率が上がる)。

$1$ つの式 $T V^{γ - 1} =$ 一定が、 $2$ 種類のエンジンの設計思想を分けている。

答

$n C_{V} Δ T = - P Δ V$ 、 $\frac{Δ P}{P} = - γ \frac{Δ V}{V}$ 、 $P V^{γ}$ が一定、 $300 \times 2.95 \approx 8.9 \times 1 0^{2} K$ で発火点を大きく超える

別解

指数の形を先に仮定して確かめるルート。 ③ の導出は、 $P V^{k} =$ 一定と仮定して $k$ を決める、という順序でも進められる。

$P V^{k}$ が一定なら、その相対変化は $0$ である。

$\frac{Δ P}{P} + k \frac{Δ V}{V} = 0$

これを ② の結果 $\frac{Δ P}{P} = - γ \frac{Δ V}{V}$ と見比べれば、 $k = γ$ でなければならないと分かる。

この順序の利点は、 $P V^{k}$ という形さえ思いつけば、指数の値が「見比べるだけ」で決まることである。

同じ手は等温変化にも使える。等温では $P V =$ 一定だから $\frac{Δ P}{P} = - \frac{Δ V}{V}$ 、つまり $k = 1$ である。断熱の $γ > 1$ と比べると、 $P$ - $V$ 図で断熱線のほうが急になる理由も、この $k$ の大小として理解できる。

「一定になる量の形を仮定して、指数を決める」という手順は、他の変化(たとえば熱の出入りが体積変化に比例する場合)にも応用できる。

ポイント

断熱では気体は自分の内部エネルギーを削って仕事をする
状態方程式の変化分と組み合わせると ΔP/P=−γ ΔV/V
これは PV^γ が一定であることと同じ。TV^{γ−1} も一定
圧縮比 15 で 300 K → 890 K。ディーゼル機関が点火装置なしで着火する理由

よくある間違い

断熱変化で温度が変わらないと考える(変わらないのは等温)
γ を代入するときに 1/γ と取り違える
TV^{γ−1} と PV^γ を混同する(どちらを使うかは与えられた量で決める)