物理 / 気体の熱力学

等温線の読み取り

★★ 標準P-Vグラフ等温変化

問題

図は、ある一定量の理想気体の等温変化を表す $P$ - $V$ グラフである。状態 A は圧力 $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ である。(1) 同じ等温線上で体積が $6.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の状態 B の圧力を求めよ。 (2) この気体の温度が $300 K$ のとき、物質量は何 mol か。 $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ 、 $\frac{600}{2490} = 0.24$ とする。

等温線上の 2 状態 A・B。B の圧力を読む

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等温線上の点はどれも PV の値が同じ。まず A で PV を計算してしまえば、(1) は割り算 1 回。(2) は状態方程式に戻る——PV のかたまりがそのまま使い回せる。

解答・解説

方針

(1) 等温なので PV=一定=600。V 3倍→P 1/3。(2) n=PV/RT=600/(8.3×300)=0.24 mol。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等温線は「 $P V =$ 一定」の曲線。だから最初に積 $P V$ を計算して固定してしまえば、(1) も (2) もその数値の使い回しで済む。

① PV を固定する。

$P V = 3.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 600 J$

② (1) B の圧力。

$P_{B} = \frac{600}{6.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$

③ (2) 物質量。 状態方程式 $P V = n R T$ より

$n = \frac{P V}{R T} = \frac{600}{8.3 \times 300} = \frac{600}{2490} = 0.24 mol$

まとめ グラフ問題では「曲線 1 本=温度 1 つ」。原点から遠い(右上の)等温線ほど高温である( $P V = n R T$ が大きい)。 $P V$ という積は、等温の比例計算・状態方程式・(あとで学ぶ)内部エネルギー $U = \frac{3}{2} P V$ のすべてに顔を出す通貨のような量——まず $P V$ を計算する癖をつけておくと、熱力学の計算は一本化される。

答

(1) $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ (2) $n = \frac{P V}{R T} = \frac{600}{2490} = 0.24 mol$

別解

「PV=エネルギー」の目で見るルート。 $P V$ の単位は $Pa \times m^{3} = N/ m^{2} \times m^{3} = N \cdot m = J$ ——実はエネルギーの次元を持つ。実際、単原子気体の内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} P V$ と書ける。

本問なら $U = \frac{3}{2} \times 600 = 900 J$ 。「この気体は 900 J の内部エネルギーを持つ」——グラフ上の 1 点から温度もエネルギーも読める、という視座を持つと P-V グラフが一気に情報の宝庫になる。

ポイント

等温線=PV 一定の曲線
まず PV を計算して固定
右上の等温線ほど高温

よくある間違い

体積 3 倍で圧力も 3 倍とする
n の計算で RT を掛ける
グラフの軸の 10 のべきを読み落とす