その星は大気を保てるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 惑星の大気の組成は、化学ではなく力学と熱力学で決まっている部分が大きい。

同じ温度なら、軽い分子ほど速く動く。速い分子は脱出速度に届きやすい。だから軽い気体から順に失われていく。

計算は $2$ つの速さを求めて比べるだけである。しかしその比較から、「なぜ地球に水素がなく、月に大気がないのか」という問いに答えが出る。

① 分子の速さ。

$$v_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{3\times 8.3\times 300}{2.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{3.74\times 10^6}\approx 1.9\times 10^{3}m/s$$

$$v_{\mathrm{O}}=\sqrt{\frac{3\times 8.3\times 300}{3.2\times 10^{-2}}}=\sqrt{2.33\times 10^5}\approx 4.8\times 10^{2}m/s$$

比は $\sqrt{\frac{32}{2}}=4$ で、水素は酸素の $4$ 倍の速さである。

② 地球の脱出速度。

$$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\times 9.8\times 6.4\times 10^6}=\sqrt{1.25\times 10^8}\approx 1.12\times 10^{4}m/s$$

$11.2km/s$ である。

③ 地球の場合。 目安の値は

$$\frac{v_{\text{esc}}}{6}=\frac{1.12\times 10^4}{6}\approx 1.9\times 10^{3}m/s$$

水素の $1.9\times 10^{3}m/s$ はこれと同程度かやや上なので、水素は逃げてしまう。酸素の $4.8\times 10^{2}m/s$ ははるかに小さいので、しっかり保たれる。

実際、地球の大気に水素はほとんど含まれていない。宇宙全体でいちばん多い元素なのに、地球の大気からは消えている。

④ 月の場合。

$$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\times 1.6\times 1.74\times 10^6}=\sqrt{5.57\times 10^6}\approx 2.4\times 10^{3}m/s$$

$$\frac{v_{\text{esc}}}{6}\approx 3.9\times 10^{2}m/s$$

酸素の $4.8\times 10^{2}m/s$ はこれを超えている。つまり月では酸素すら保てない。窒素も同様である。

月に大気がほとんどないのは、重力が小さくて脱出速度が低く、ありふれた気体の分子の速さでも逃げ出せてしまうからである。

まとめ 大気を保てるかは「分子の速さ」と「脱出速度」の競争で決まる。前者は温度と分子の重さ、後者は天体の重力と大きさで決まる。

発展 — 一歩先へ。 この見方で太陽系を眺めると、組成の違いがきれいに説明できる。

木星や土星は巨大で脱出速度が大きく($60km/s$ 前後)、しかも太陽から遠くて低温なので、いちばん軽い水素とヘリウムまで保っている。だから主成分が水素の大気をもつ。

火星は地球より小さく($5km/s$)、大気は薄い。金星は地球とほぼ同じ大きさだが高温で、水素は失っている。

「重力の大きさ」と「温度」という $2$ つの軸で、惑星の大気の顔ぶれが決まる。$1$ つの不等式が、太陽系の地図を描いてくれる。

別解

エネルギーで比べるルート。 速さでなく、エネルギーの比で考えることもできる。

分子 $1$ 個が脱出するのに必要なエネルギーは $\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2$、熱運動のエネルギーは $\frac{3}{2}kT$ である。その比を

$$\lambda =\frac{\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2}{\frac{3}{2}kT}=\frac{M{v}_{\text{esc}}^2}{3RT}$$

とおくと、③ の目安「$v_{\text{rms}}<\frac{v_{\text{esc}}}{6}$」は $\lambda >36$ と書き直せる。

地球の酸素なら

$$\lambda ={\left(\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}\right)}^2={\left(\frac{1.12\times 10^4}{4.8\times 10^2}\right)}^2\approx 540$$

$36$ をはるかに超えており、安全である。水素なら ${\left(\frac{11200}{1930}\right)}^2\approx 34$ で、境目のすぐ下になる。

エネルギー比で見る利点は、これが「分子の速さの分布の裾」の議論と直結することである。ボルツマン分布では、脱出できる速さをもつ分子の割合が $e^{-\lambda }$ 程度で効いてくる。$\lambda$ が $36$ から $540$ に変わると、この割合は天文学的な差になる。

境目が「$\frac{1}{6}$」という中途半端な数なのは、指数関数の急激さが背景にあるからである。