物理 / 気体の熱力学

温度の異なる気体の混合

★★★ 応用状態方程式混合内部エネルギー

問題

断熱容器が仕切りで同じ容積 $V$ の 2 室に分けられ、どちらにも圧力 $P_{0} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ の単原子理想気体が入っているが、温度は左室 $300 K$ 、右室 $600 K$ である。仕切りを取り除いて十分時間がたったときの、(1) 全体の温度 (2) 全体の圧力を求めよ。

同じ圧力・体積で温度だけ違う 2 室。混ぜると何度になるか

ヒントを見る

同じ圧力・同じ体積でも、冷たい部屋ほど分子が多く詰まっている——まず各室の mol 数の比を出そう。混ざった後の温度は、単純平均 450 K にはならない。保存するのは温度ではなく内部エネルギーである。

解答・解説

方針

n1=P0V/300R、n2=P0V/600R(n1=2n2)。断熱・仕事なしで内部エネルギー保存: T=(n1T1+n2T2)/(n1+n2)=400 K。P=(n1+n2)RT/2V=P0。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直感の 450 K(単純平均)は罠である。同じ $P_{0}, V$ でも冷たい室ほど mol 数が多い( $n \propto 1/ T$ )から、平均は「数の多い低温側」に引っ張られる。保存量は断熱・外部仕事なしより内部エネルギーの総和である。

① 各室の mol 数。 状態方程式より

$n_{1} = \frac{P _{0} V}{R \times 300}, n_{2} = \frac{P _{0} V}{R \times 600} ⟹ n_{1} = 2 n_{2}$

低温室が2 倍の分子を抱えている。

同じ P₀・V でも、冷たい室ほど分子が密(mol 数が多い)

② 温度(内部エネルギー保存)。 断熱容器で外部への仕事もないから

$\frac{3}{2} n_{1} R \times 300 + \frac{3}{2} n_{2} R \times 600 = \frac{3}{2} (n_{1} + n_{2}) R T$

$\frac{3}{2} R$ が消えて、 $T$ は mol 数の重み付き平均:

$T = \frac{n _{1} \times 300 + n _{2} \times 600}{n _{1} + n _{2}} = \frac{2 \times 300 + 1 \times 600}{3} = 400 K$

③ 圧力。 全体( $2 V$ 、 $n_{1} + n_{2} = 3 n_{2}$ )で状態方程式:

$P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{2 V} = \frac{3 n _{2} R \times 400}{2 V} = \frac{3 \times 400}{2 \times 600} \times \frac{n _{2} R \times 600}{V} = P_{0} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$

まとめ 温度は 450 K でなく 400 K——「数で殴る低温側」が勝つ。そして圧力は変わらない(もともと両室同圧で、混合は圧力のつり合いを崩さない)。保存するのは何か(mol 数と内部エネルギー)から式を立てる姿勢は、等温混合(標準)と同じで、温度差がついても骨組みは変わらない。

答

(1) $400 K$ (mol 数の重み付き平均。低温側が 2 倍の mol を持つ) (2) $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ (不変)

別解

PV の和で圧力を先に出すルート。 内部エネルギーは $U = \frac{3}{2} P V$ と書けるから、その保存は「 $P V$ の和の保存」でもある:

$P_{0} V + P_{0} V = P_{後} \times 2 V ⟹ P_{後} = P_{0}$

温度を経由せず圧力が1 行で出る。そのあと mol 数と状態方程式から $T = 400 K$ を出してもよい。 $U = \frac{3}{2} P V$ という書き換えは、単原子気体の問題全般で強力な近道になる。

ポイント

同 P・V でも低温側が mol 多い
保存は内部エネルギー(重み付き平均)
U=(3/2)PV なら圧力が 1 行

よくある間違い

単純平均 450 K とする
mol 数を同数として計算する
圧力が半分になると考える