断熱自由膨張

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「断熱膨張だから冷える」と即答したくなるが、この膨張には押す相手がいない。仕事の定義に立ち返って第 1 法則を 1 項ずつ確定させる——思い込みを裏切る有名問題である。

① 仕事。 気体が広がる先は真空。ピストンも大気もなく、押しのける相手がいないから

$$W=0$$

② 温度。 断熱で $Q=0$、仕事も $W=0$。第 1 法則より

$$\Delta U=Q-W=0$$

$U$ は温度だけで決まるから、温度は変わらない:

$$T=300\mathrm{K}$$

③ 圧力。 温度一定・体積 2 倍のボイルの法則で

$$P=\frac{1.0\times 10^5}{2}=0.5\times 10^5\mathrm{Pa}$$

④ 矛盾しない理由。 通常の断熱膨張が冷えるのは、ピストンを押す仕事にエネルギーを支払うからである。自由膨張は支払いゼロ——広がっても内部エネルギーが 1 円も減らないので、温度は下がらない。

まとめ 「膨張=冷える」ではなく「仕事をした膨張=冷える」が正しい因果である。分子の絵で言えば、退いていく壁に当たって減速するのが通常の断熱膨張、壁がそもそも消えるのが自由膨張——分子は誰にも減速されずに広がるだけである。この区別を一度自分の言葉で言えれば、断熱系の正誤問題は怖くない。

別解

「理想気体だから」の但し書きに注目するルート(発展)。 実在気体では、分子どうしにわずかな引力がある。自由膨張で分子間距離が広がると、引力に逆らって離れる分の位置エネルギーが増え、その分だけ運動エネルギー(温度)がわずかに下がる(ジュール・トムソン効果の親戚)。

「理想気体の自由膨張で温度不変」という結論は、分子間力を無視した理想化の帰結である。この温度降下を積極的に使うと気体は液化できる——空気の液化・液体窒素製造の原理につながっている。