物理 / 気体の熱力学

モル比熱とマイヤーの関係

★★ 標準モル比熱

問題

単原子理想気体について、(1) 定積モル比熱 $C_{V}$ と定圧モル比熱 $C_{p}$ をそれぞれ求めよ。 (2) $C_{p} - C_{V}$ が気体定数 $R$ に等しいこと(マイヤーの関係)を確かめよ。 (3) $2.0 mol$ を定圧で $10 K$ 温めるのに必要な熱量を求めよ。 $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

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モル比熱とは「1 mol を 1 K 温める熱量」。定積・定圧それぞれの Q の式で n=1、ΔT=1 と置けば係数がそのまま読める。差が何の分に対応するかも、第 1 法則で説明できるはず。

解答・解説

方針

定積の Q=(3/2)nRΔT、定圧の Q=(5/2)nRΔT から係数を読む。差は膨張の仕事分 R。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 モル比熱は新しい量ではなく、これまでの $Q$ の式の係数に名前を付けただけである。 $Q = n C Δ T$ と書いたときの $C$ を、定積と定圧で読み比べる。

① 2 つのモル比熱。 定積では $Q = \frac{3}{2} n R Δ T$ 、定圧では $Q = \frac{5}{2} n R Δ T$ だから

$C_{V} = \frac{3}{2} R = 12.45 J/ (mol \cdot K), C_{p} = \frac{5}{2} R = 20.75 J/ (mol \cdot K)$

② マイヤーの関係。

$C_{p} - C_{V} = \frac{5}{2} R - \frac{3}{2} R = R$

定理マイヤーの関係:

C_{p} = C_{V} + R

(差は 1 mol・1 K あたりの膨張の仕事

R

)

③ 熱量。

$Q = n C_{p} Δ T = 2.0 \times 20.75 \times 10 = 415 \approx 4.2 \times 1 0^{2} J$

同じ昇温でも、定圧は膨張の仕事 R の分だけ熱が余計にかかる

まとめ 差 $R$ の正体は「定圧のとき余計にかかる膨張の仕事 $P Δ V = n R Δ T$ の 1 mol・1 K 分」である。マイヤーの関係は単原子に限らずあらゆる理想気体で成立する(2 原子でも $C_{p} - C_{V} = R$ 。変わるのは $C_{V}$ の値だけ)。「差はいつも $R$ 」——この普遍性が試験で問われる急所である。

答

(1) $C_{V} = \frac{3}{2} R = 12.45$ 、 $C_{p} = \frac{5}{2} R = 20.75 J/ (mol \cdot K)$ (2) $C_{p} - C_{V} = R$ (3) $Q = n C_{p} Δ T = 415 \approx 4.2 \times 1 0^{2} J$

別解

比熱比 γ で整理するルート(発展)。 比 $γ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$ をとると、単原子では $γ = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}$ 。この $γ$ は断熱変化の曲線 $P V^{γ} =$ 一定の指数として再登場する(断熱線が等温線より急な度合いを決める数)。

$C_{V}, C_{p}, γ$ の 3 点セット( $\frac{3}{2} R, \frac{5}{2} R, \frac{5}{3}$ )を単原子の「プロフィール」として覚えておくと、大学入試の熱力学で迷子にならない。

ポイント

モル比熱=Q の式の係数の名前
Cp−CV=R は全理想気体で成立
差 R の正体は膨張の仕事

よくある間違い

CV と Cp を逆に覚える(圧が大きい方が大きい)
マイヤーの関係を単原子限定と思い込む
(3) で CV を使ってしまう