ばね付きピストンの加熱

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばね付きピストンは「圧力が一定でない定圧もどき」の代表型である。攻め口は 2 つ——(1) ピストンのつり合いで圧力を $x$ の式にする、(3) 仕事は行き先(大気+ばね)で数える。

① 圧力。 ピストンには、内側から $PS$、外から大気 $P_{0}S$ とばねの力 $kx$(押し出されて縮む向きに抵抗)がはたらく。つり合いより

$$PS=P_{0}S+kx⟹P=P_0+\frac{kx}{S}=1.0\times 10^5+\frac{1.0\times 10^3\times 0.10}{1.0\times 10^{-2}}=1.1\times 10^5\mathrm{Pa}$$

② 温度。 体積は $V=V_0+Sx=1.1\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$。ボイル・シャルルで

$$T=T_0\times \frac{PV}{P_0{V}_0}=300\times \frac{1.1\times 10^5\times 1.1\times 10^{-2}}{1.0\times 10^5\times 1.0\times 10^{-2}}=300\times 1.21=363\mathrm{K}$$

③ 仕事。 気体のした仕事の行き先は 2 つ:

$$W=\underset{大気を押す}{\underbrace{P_{0}Sx}}+\underset{ばねに蓄える}{\underbrace{\frac{1}{2}k{x}^2}}=1.0\times 10^5\times 1.0\times 10^{-3}+\frac{1}{2}\times 1.0\times 10^3\times 0.010=100+5=105\mathrm{J}$$

まとめ 圧力が $x$ に比例して増える過程は、$P$-$V$ グラフでは右上がりの直線。仕事=直線の下の台形面積 $=\frac{P_0+P}{2}\times \Delta V=\frac{(1.0+1.1)\times 10^5}{2}\times 1.0\times 10^{-3}=105\mathrm{J}$ ✓——行き先で数えた③と一致する。「行き先で数える」と「面積で読む」の二重検算が、この型の完成形である。

別解

平均圧力で一気に出すルート。 圧力が $1.0\times 10^5$ から $1.1\times 10^5\mathrm{Pa}$ まで一次関数的に増えるので、仕事は平均圧力で

$$W=\overline{P}\Delta V=\frac{1.0+1.1}{2}\times 10^5\times 1.0\times 10^{-3}=105\mathrm{J}$$

1 行で済む。平均が使えるのは変化が一次(グラフが直線)のときだけ——曲線の過程(等温など)では使えない、という適用条件ごと覚えておくこと。