長方形サイクルの正味の仕事

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 サイクルの仕事は「膨張でした仕事 − 圧縮でされた仕事」。$P$-$V$ グラフでは、それぞれ過程の線の下の面積だから、差し引きは閉曲線が囲む面積になる。

① 各過程の仕事。

• A→B(定積昇圧): $W=0$
• B→C(定圧膨張): $W=3.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=1200\mathrm{J}$(した)
• C→D(定積降圧): $W=0$
• D→A(定圧圧縮): $W=1.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=400\mathrm{J}$(された)

② 正味の仕事。

$$W_{正味}=1200-400=8.0\times 10^2\mathrm{J}$$

これは囲まれた長方形の面積 $\Delta P\times \Delta V=2.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}$ と一致する。

まとめ 「時計回りのサイクル=囲む面積だけ外へ仕事」。高圧で膨らみ、低圧で縮む——この「行きは強く、帰りは弱く」の差額が取り出せる仕事である(逆回り=反時計回りなら同じ面積だけ仕事をされる=冷凍機)。囲む面積の読みは、次の熱効率の計算の分子になる。

別解

符号を持たせて 1 周足すルート。 体積が増える過程の面積を正、減る過程を負として全過程を足すと

$$0+1200+0+(-400)=800\mathrm{J}$$

——機械的に足すだけで正味が出る。過程が斜め線や曲線のサイクルでも、この「符号付き面積の総和=囲む面積」は変わらないので、複雑なサイクルほどこの流儀が安全である。