物理 / 気体の熱力学

内部エネルギー

★ 基礎内部エネルギー

問題

単原子分子の理想気体 $2.0 mol$ が温度 $300 K$ にある。この気体の内部エネルギーを求めよ。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

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内部エネルギーは「分子の運動エネルギーの総和」。1 個あたりの平均を全個数分集めた式があった。n と T だけで決まることに注目して代入しよう。

解答・解説

方針

単原子理想気体の内部エネルギー U=(3/2)nRT=(3/2)×2.0×8.3×300=7470 J。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内部エネルギーとは、容器の中の全分子の運動エネルギーの総和である。1 個あたり $\frac{3}{2} k T$ (基礎の平均運動エネルギー)を $n$ mol 分(= $n N_{A}$ 個)集めると、 $k N_{A} = R$ を使って次の形になる。

公式単原子理想気体の内部エネルギー:

U = \frac{3}{2} n R T

(n と T だけで決まる)

① 代入する。

$U = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.3 \times 300 = 7470 \approx 7.5 \times 1 0^{3} J$

内部エネルギーは絶対温度に比例する(n=2.0 mol)

まとめ 大事なのは値そのものより「 $U$ は温度に比例する」という構造である。だから温度が変わらなければ $U$ も変わらない(等温変化で $Δ U = 0$ になる根拠)。逆に $U$ の変化は $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ ——温度差だけで書ける。この式は熱力学第 1 法則の計算全体の土台になる。

答

$U = \frac{3}{2} n R T = 7.5 \times 1 0^{3} J$ ( $7470 J$ )

別解

7470 J の体感ルート。 $7.5 \times 1 0^{3} J$ は、質量 1 kg の物体を約 760 m 持ち上げるエネルギーに相当する。目に見えない分子のざわめきが、これほどのエネルギーを蓄えている。

もっとも、このエネルギーを全部仕事として取り出すことはできない(熱機関の効率の限界)——その「取り出せなさ」を定量化するのが熱力学第 2 法則で、大学の熱力学へ続く入口である。

ポイント

U=(3/2)nRT(単原子)
U は温度に比例(等温で ΔU=0 の根拠)
ΔU=(3/2)nRΔT が第1法則の土台

よくある間違い

(3/2) を忘れる
2 原子分子にもそのまま使う(単原子限定)
T でなく ΔT を入れる混同