物理 / 気体の熱力学

定圧変化と熱力学第1法則

★ 基礎熱力学第1法則定圧変化

問題

なめらかに動くピストン付きの容器で、単原子理想気体 $1.0 mol$ を圧力一定のまま温め、温度を $100 K$ 上昇させた。(1) 気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの増加 (3) 加えた熱量をそれぞれ求めよ。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

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定圧の仕事は W=PΔV。ところが P も ΔV も直接は与えられていない。PΔV というかたまりを、状態方程式を使って n・R・ΔT で書き換えられないか考えてみよう。

解答・解説

方針

定圧の仕事 W=PΔV は状態方程式で PΔV=nRΔT と書ける。ΔU=(3/2)nRΔT。Q は和。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定圧の仕事は $W = P Δ V$ 。 $P$ も $Δ V$ も個別には不明だが、状態方程式 $P V = n R T$ の変化分をとると $P Δ V = n R Δ T$ となる。積のかたまりごと温度差で書きかえられる。この置き換えが定圧変化の要点である。

① 仕事。

$W = P Δ V = n R Δ T = 1.0 \times 8.3 \times 100 = 830 J$

② 内部エネルギーの増加。 これは変化の種類によらず温度差だけで

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 1245 J$

③ 加えた熱量。 第 1 法則 $Q = Δ U + W$ :

$Q = 1245 + 830 = 2075 \approx 2.1 \times 1 0^{3} J$

定圧変化は真横へ動く。線の下の長方形の面積が仕事 W=PΔV

まとめ同じ 100 K の昇温でも、定積は $Q = 1245 J$ 、定圧は $Q = 2075 J$ 。差の $830 J$ は膨張の仕事に持っていかれた分である。定圧では、仕事の分だけ余計に熱がかかる。この 1 行が次のモル比熱の関係(マイヤーの関係)の中身そのものになる。

答

(1) $W = n R Δ T = 830 J$ (2) $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 1245 \approx 1.2 \times 1 0^{3} J$ (3) $Q = Δ U + W = 2075 \approx 2.1 \times 1 0^{3} J$

別解

配分比 3:2:5 で覚えるルート。 単原子・定圧では

$Δ U : W : Q = \frac{3}{2} n R Δ T : n R Δ T : \frac{5}{2} n R Δ T = 3 : 2 : 5$

となり、もらった熱 5 のうち 3 が温度上昇、2 が仕事に必ず分かれる(数値によらない固定比)。この比を知っていれば、 $Q$ が分かれば $W$ も暗算でき( $Q$ の 4 割)、検算もすぐにできる。標準問題ではこの比を中心にした問題が出題される。

ポイント

PΔV=nRΔT の置き換えが要点
定圧: Q=(5/2)nRΔT
配分は ΔU:W:Q=3:2:5(単原子)

よくある間違い

ΔU を (5/2)nRΔT としてしまう(それは Q)
W=0 と混同する(定積と取り違え)
Q=ΔU−W と引いてしまう