物理 / 気体の熱力学

二乗平均速度

★★ 標準分子運動論

問題

温度 $300 K$ の水素分子( $1 mol$ あたりの質量 $M = 2.0 \times 1 0^{- 3} kg/mol$ )の二乗平均速度 $\overline{v^{2}} = \frac{3 R T}{M}$ を求めよ。また、同じ温度の酸素分子( $M = 3.2 \times 1 0^{- 2} kg/mol$ )の二乗平均速度は水素の何倍か。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ 、 $3.7 = 1.9$ とする。

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与えられた式に代入するだけだが、指数の処理が勝負どころ。後半は、根号の中で変わるのが M だけであることに注目——M が 16 倍になると根号全体は何倍になるか。

解答・解説

方針

√(3RT/M)=√(3×8.3×300/2.0×10⁻³)=√(3.735×10⁶)≈1.9×10³ m/s。M 16倍→速さ 1/4。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「同じ温度なら平均運動エネルギーは同じ」(基礎)——ならば軽い分子ほど速いはずである。その速さの代表値が二乗平均速度で、 $3 R T / M$ に mol 質量 $M$ が入っている。

① 水素の速さ。

$\overline{v^{2}} = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{2.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 3.735 \times 1 0^{6} \approx 1.9 \times 1 0^{3} m/s$

② 酸素との比。 変わるのは $M$ だけ。 $M$ が $16$ 倍なら

$\frac{v _{O_{2}}}{v _{H_{2}}} = \frac{M _{H_{2}}}{M _{O_{2}}} = \frac{2.0}{32} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4} 倍 (約 4.8 \times 1 0^{2} m/s)$

同温ではエネルギーが同じ。質量 16 倍の酸素は速さ 1/4

まとめ 水素分子は秒速約 2 km——音速(約 340 m/s)の 5 倍以上で飛び回っている。音が空気中を伝わる速さが分子の速さと同程度のオーダーになるのは偶然ではない(音は分子の衝突リレーで伝わる)。また、軽い水素ほど速く、地球の重力を振り切りやすい——大気に水素がほとんど残っていない理由もこの式の中にある。

答

水素: 約 $1.9 \times 1 0^{3} m/s$ 。酸素は $2.0/32 = \frac{1}{4}$ 倍(約 480 m/s)

別解

エネルギー均等から比を出すルート。 同温では $\frac{1}{2} m \overline{v^{2}}$ が共通だから

$m_{H_{2}} \overline{v_{H_{2}}^{2}} = m_{O_{2}} \overline{v_{O_{2}}^{2}} ⟹ \frac{v _{O_{2}}}{v _{H_{2}}} = \frac{m _{H_{2}}}{m _{O_{2}}} = \frac{1}{4}$

公式を経由せず「エネルギー同じ、質量 16 倍、だから速さ 1/4」と 1 行で出せる。質量と速さの平方根のシーソー——この見方は同位体の分離(ウラン濃縮の気体拡散法)など、実技術の原理にもなっている。

ポイント

同温=同エネルギー→軽いほど速い
v∝1/√M(M 16倍で 1/4)
水素は音速の5倍超

よくある間違い

M を kg に直さず g のまま入れる
√ を忘れて 16 分の 1 とする
温度も変わると思い込む(同温の比較)