物理 / 気体の熱力学

定積変化と熱力学第1法則

★ 基礎熱力学第1法則定積変化

問題

容積の変わらない容器に入れた単原子理想気体 $1.0 mol$ に熱を加え、温度を $100 K$ 上昇させた。(1) 気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの増加 (3) 加えた熱量をそれぞれ求めよ。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

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気体が仕事をするのは、体積が変わってピストンなどを押しのけたとき。この容器では体積はどうなっているか。そこが決まれば、第 1 法則の 3 つの量のうち 1 つが消えて残り 2 つの関係になる。

解答・解説

定積では体積変化ゼロ→W=0。第1法則 Q=ΔU+W より Q=ΔU=(3/2)nRΔT=1245 J。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 熱力学の計算問題は、まず、どの変化か(定積・定圧・等温・断熱)のラベルを貼ることから始まる。ラベルが決まると第 1 法則の 3 つの量のどれかが単純になる。定積なら「仕事ゼロ」である。

定理熱力学第1法則:

Q = Δ U + W

(加えた熱=内部エネルギーの増加+気体がした仕事)

① 仕事。 体積が変わらないので、気体は何も押しのけていない:

$W = 0$

② 内部エネルギーの増加。

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 100 = 1245 \approx 1.2 \times 1 0^{3} J$

③ 加えた熱量。 第 1 法則で $W = 0$ だから

$Q = Δ U + 0 = 1.2 \times 1 0^{3} J$

定積変化は P-V 図で真上に動く。横に動かない=面積ゼロ=仕事ゼロ

まとめ 定積変化は「もらった熱がそっくり内部エネルギー(温度)になる」最も効率のよい温め方である。 $P$ - $V$ グラフでは真上への移動(横軸が動かない=面積ゼロ=仕事ゼロ)。「グラフの下の面積=仕事」という見方をここで固めておくと、あとの定圧・サイクルが全部同じ目で読める。

答

(1) $W = 0$ (体積が変わらない) (2) $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 1245 \approx 1.2 \times 1 0^{3} J$ (3) $Q = Δ U = 1.2 \times 1 0^{3} J$

モル比熱の言葉で言い直すルート。 定積で 1 mol を 1 K 温めるのに要る熱量が定積モル比熱 $C_{V} = \frac{3}{2} R$ である。この言葉を使えば

$Q = n C_{V} Δ T = 1.0 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times 100 = 1245 J$

——②③の計算が 1 本にまとまる。 $C_{V}$ の定義とは「定積の $Q$ の言い換え」にすぎない、と理解しておくと公式が増えた気がしない。