物理 / 気体の熱力学

定圧変化のエネルギー配分

★★ 標準熱力学第1法則定圧変化

問題

単原子理想気体 $2.0 mol$ を、圧力一定のまま温度が $150 K$ 上がるまで加熱した。(1) 気体がした仕事 $W$ (2) 内部エネルギーの増加 $Δ U$ (3) 加えた熱量 $Q$ を求め、 $W : Δ U : Q$ の比を答えよ。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

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定圧の仕事は PΔV=nRΔT に化けるのだった。3 つの量がすべて nRΔT の定数倍になることに気づけば、比の答えは計算の前に見えてくる。

解答・解説

方針

W=nRΔT=2490、ΔU=(3/2)nRΔT=3735、Q=和=6225。比は nRΔT で割って 2:3:5。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定圧変化では $W = n R Δ T$ 、 $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ ——すべてが共通因子 $n R Δ T$ の定数倍になる。だから配分比は数値によらず固定で、計算は共通因子 1 回で済む。

① 共通因子を計算する。

$n R Δ T = 2.0 \times 8.3 \times 150 = 2490 J$

② 3 つの量。

$W = n R Δ T = 2490 J$

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 3735 J$

$Q = Δ U + W = 3735 + 2490 = 6225 \approx 6.2 \times 1 0^{3} J$

③ 比。 $n R Δ T$ で割れば

$W : Δ U : Q = 1 : \frac{3}{2} : \frac{5}{2} = 2 : 3 : 5$

定圧加熱の配分。熱 5 が温度上昇 3 と仕事 2 に分かれる

まとめ もらった熱 5 のうち、3 が温度上昇に、2 が膨張の仕事に——単原子気体の定圧加熱は必ずこの配分になる。逆に「 $Q$ のうち仕事に回るのは 4 割」と覚えておけば、1 つの量から残り全部が暗算で出る。入試の定圧問題の多くは、この固定比の言い換えである。

答

$W = 2490 J$ 、 $Δ U = 3735 J$ 、 $Q = 6225 \approx 6.2 \times 1 0^{3} J$ 。 $W : Δ U : Q = 2 : 3 : 5$

別解

モル比熱で一気に出すルート。 定圧モル比熱 $C_{p} = \frac{5}{2} R$ を使えば

$Q = n C_{p} Δ T = 2.0 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 150 = 6225 J$

と 1 行で $Q$ が出る。そこから $Δ U$ ( $Q$ の $\frac{3}{5}$ )と $W$ ( $Q$ の $\frac{2}{5}$ )を配分で切り出してもよい。正面から積み上げるか、 $Q$ から配るか——2 way で検算し合えるのがこの型の強みである。

ポイント

全量が nRΔT の定数倍
W:ΔU:Q=2:3:5(単原子・定圧)
1 つ分かれば残りは配分で出る

よくある間違い

ΔU と Q の係数(3/2 と 5/2)を取り違える
W に (3/2) を付ける
比を体積比や圧力比と混同する