2 つの容器の接続(等温混合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コックを開いて変わらないものは何か——分子の総数(mol 数)である。等温では状態方程式 $PV=nRT$ より $PV\propto n$ だから、「mol 数の保存」は「$PV$ の合計の保存」に翻訳できる。

① PV の合計を計算する。

$$P_A{V}_A+P_B{V}_B=3.0\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}+1.5\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=600+600=1200\mathrm{J}$$

② 混合後。 全体の体積は $V_A+V_B=6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ で、

$$P=\frac{P_A{V}_A+P_B{V}_B}{V_A+V_B}=\frac{1200}{6.0\times 10^{-3}}=2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$$

まとめ 結果の式は「体積で重みを付けた圧力の平均」の形をしている。高圧の A(3.0)と低圧の B(1.5)の間の値になるのは当然として、体積の大きい B 寄り……ではなく今回はちょうど中間の 2.0 になった($PV$ がどちらも 600 で等しかったため)。連結問題は「保存するもの=mol 数($PV/T$)」から式を立てる——温度が変わる発展形でも同じ発想で通せる。

別解

mol 数を実際に数えるルート。 仮に $T=300\mathrm{K}$ とすると $n_A=\frac{600}{RT}=0.241\mathrm{mol}$、$n_B=\frac{600}{RT}=0.241\mathrm{mol}$。合計 $0.482\mathrm{mol}$ が $6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ に入るから

$$P=\frac{nRT}{V}=\frac{0.482\times 8.3\times 300}{6.0\times 10^{-3}}=2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$$

温度は途中で消える(どんな $T$ を仮定しても同じ)。抽象的な「$PV$ 保存」が腑に落ちないときは、一度 mol 数まで下りて数えると安心できる。