水銀柱と気柱(ボイルの法則の応用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この型の問題は 2 幕構成である。第 1 幕: 水銀柱のつり合いで気柱の圧力を決める。第 2 幕: ボイルの法則で長さに変換する。圧力の単位を cmHg のまま使うと、$g$ や密度が最後まで登場せず計算が軽い。

① 水平のとき。 水銀柱の重さは管の向きに効かないので、気柱の圧力=大気圧:

$$P_1=76\mathrm{cmHg},L_1=20\mathrm{cm}$$

② 鉛直(閉端上)のとき。 水銀柱(36 cm)を下から大気圧が支え、上から気柱の圧力が押す。つり合いは

$$P_2+36=76⟹P_2=40\mathrm{cmHg}$$

③ ボイルの法則。 断面積が一定だから体積の比=長さの比:

$$76\times 20=40\times L_2⟹L_2=\frac{1520}{40}=38\mathrm{cm}$$

まとめ 閉端を上にすると水銀が下がろうとして気柱が引き伸ばされ、圧力が下がって膨張する——38 cm に伸びたのは直感どおりである。逆に閉端を下にすれば $P=76+36=112\mathrm{cmHg}$ に上がって縮む。「水銀柱の分を足すか引くか」は暗記でなく、水銀を支える力のつり合いを毎回描いて決めるのが安全である。

別解

圧力を Pa に直しても同じことを確かめるルート。 cmHg は「その高さの水銀柱が底面に及ぼす圧力 $\rho gh$」の略記である。76 cmHg ≈ $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ だから、$P_2=40\mathrm{cmHg}\approx 5.3\times 10^4\mathrm{Pa}$。

ボイルの式は両辺に同じ換算係数($\rho g$)が掛かるだけなので、比の計算では単位系を Pa に直す必要がない。cmHg のまま処理するのが、この型の定石である。