物理 / 気体の熱力学

鉛直シリンダーの向きと気柱

★★★ 応用状態方程式ピストンのつり合い

問題

断面積 $S = 4.9 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ のシリンダーに、質量 $M = 1.0 kg$ のなめらかなピストンで気体を閉じ込める。開口部を上にして鉛直に立てたとき、気柱の長さは $20 cm$ であった。このシリンダーを開口部が下になるようにひっくり返すと、気柱の長さはいくらになるか。大気圧を $P_{0} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、温度は一定とする。

同じ装置を直立(左)から倒立(右)にする。温度一定

ヒントを見る

ピストンの重さが気体を「押す」のか「引き伸ばす」のか——向きごとにピストンのつり合いの式を立てて、気体の圧力を決める。圧力が 2 つ出れば、あとは温度一定のボイルの法則である。

解答・解説

方針

Mg/S=1.0×9.8/4.9×10⁻⁴=2.0×10⁴ Pa。直立(ピストンが上に乗る): P=P0+Mg/S=1.2×10⁵。倒立(ぶら下がる): P=P0−Mg/S=0.8×10⁵。ボイルで L=1.2×20/0.8=30 cm。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水銀柱(標準)のピストン版である。手順も同じ 2 幕——つり合いで圧力を決め、ボイルで長さに変換。鍵は $\frac{M g}{S}$ という「ピストンの重さの圧力換算」を最初に計算しておくことである。

① 重さの圧力換算。

$\frac{M g}{S} = \frac{1.0 \times 9.8}{4.9 \times 1 0 ^{- 4}} = 2.0 \times 1 0^{4} Pa$

② 直立(開口部が上=ピストンが気体の上に乗る)。 ピストンのつり合い: 下から気体 $P_{1} S$ 、上から大気 $P_{0} S$ と重力 $M g$ 。

$P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = 1.2 \times 1 0^{5} Pa$

③ 倒立(開口部が下=ピストンがぶら下がる)。 今度は気体が上からピストンを押し下げ、大気が下から支える:

$P_{2} = P_{0} - \frac{M g}{S} = 0.8 \times 1 0^{5} Pa$

④ ボイルの法則。 断面積一定なので長さで書けて

$P_{1} L_{1} = P_{2} L_{2} ⟹ L_{2} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{5} \times 20}{0.8 \times 1 0 ^{5}} = 30 cm$

ピストンのつり合い。重さの向きで気体の圧力が ±Mg/S 変わる

まとめ ひっくり返すと、ピストンの重さが「気体を圧縮する向き」から「気体を引き伸ばす向き」に転じ、圧力が $\pm \frac{M g}{S}$ の 2 段変化(差は $4.0 \times 1 0^{4} Pa$ )——気柱は 1.5 倍に伸びる。圧力は暗記の「足す/引く」でなく、毎回ピストンのつり合いを描いて決める。これが水銀柱・ピストン系すべてに通じる唯一の安全策である。

答

$30 cm$ (直立時 $P = 1.2 \times 1 0^{5}$ 、倒立時 $P = 0.8 \times 1 0^{5} Pa$ 。 $1.2 \times 20 = 0.8 \times L$ )

別解

倒立側の圧力を「支え」の絵で見るルート。 倒立時、ピストンが落ちないのはなぜか——下から支える大気圧( $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ )が、上からの気体の圧力( $0.8 \times 1 0^{5}$ )と重さ( $0.2 \times 1 0^{5}$ 相当)の和とつり合っているからである。

もし $M g / S$ が $P_{0}$ を超える重いピストンなら、大気は支えきれず落ちてしまう( $P_{2} < 0$ は物理的に不可能のサイン)。答えの式が成り立つ適用範囲まで見えると、文字式問題( $M$ を増やすとどうなるか)にも対応できる。

ポイント

Mg/S を最初に圧力換算
向きごとにつり合いを描いて P を決める
ボイルは長さの比で使える

よくある間違い

倒立でも P0+Mg/S とする
長さの比を逆にする(圧力下降→伸びる)
cm と m の混在で桁を誤る