気体分子運動論(圧力の導出)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 目に見えない圧力を、1 個の分子の壁への連打から組み上げる——熱力学と力学をつなぐ有名な導出である。設計図は「力積→回数→力→圧力→平均」の 5 段流れ作業になる。

① 1 回の衝突の力積。 弾性衝突で $v_x$ が $-v_x$ に反転するから、分子の運動量変化の大きさは $2m{v}_x$。作用反作用で壁が受ける力積も

$$2m{v}_x$$

② 衝突回数。 この壁に再び当たるには往復 $2L$ を走る必要がある。時間 $t$ に走る距離は $v_{x}t$ だから

$$回数=\frac{v_{x}t}{2L}$$

③ 圧力を組み立てる。 1 分子が時間 $t$ に壁へ与える力積は

$$2m{v}_x\times \frac{v_{x}t}{2L}=\frac{m{v}_x^2}{L}t$$

力=力積÷時間だから、1 分子の平均の力は $\frac{m{v}_x^2}{L}$。$N$ 個分を平均で足すと

$$F=\frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$$

分子の運動に向きの偏りはないので $\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$。壁の面積 $L^2$ で割って

$$P=\frac{F}{L^2}=\frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3}=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$$

まとめ この結果を状態方程式 $PV=nRT$($V=L^3$)と見比べると、$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$——「温度=分子の平均運動エネルギー」という基礎の公式は、この導出の副産物である。5 段の流れ(力積→回数→力→圧力→平均)は誘導つき入試問題の定番なので、各段の「なぜ」を自分の言葉で再現できるようにしておく。

別解

次元と極端で式を点検するルート。 導いた $P=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$ を疑ってみる。(1) 分子を増やす($N$ 2 倍)→圧力 2 倍: 妥当。(2) 容器を大きく($L^3$ 2 倍)→圧力半分: ボイルの法則そのもの。(3) 速さ 2 倍→圧力 4 倍: 1 回の力積と衝突頻度の両方が 2 倍になるから $2\times 2=4$——2 乗の由来はここにある。

「速さの 2 乗で効く」ことの物理的な理由(力積×頻度)を言えるようにしておくと、論述問題にも対応できる。