物理 / 気体の熱力学

小さな穴から漏れる速さの違い

最難関編分子運動拡散同位体分離

問題

容器の壁に、分子の大きさに比べて十分大きく、しかし容器に比べて十分小さい穴をあける。単位時間に穴から出る分子の数は、分子の数密度と平均の速さの積に比例する。

同じ温度・同じ圧力の $2$ 種類の気体では、数密度が同じなので、漏れる速さは平均の速さの比になる。分子の速さは $\frac{3 R T}{M}$ 程度なので、モル質量 $M$ の平方根に反比例する。

容器の小さな穴から気体が漏れる。軽い分子ほど速いので、外側では軽いほうの割合が少し増える。

(1) 水素( $M = 2.0 g/mol$ )と酸素( $M = 32 g/mol$ )では、漏れる速さは何倍違うか。

(2) ウランの濃縮では、六フッ化ウランの気体を使う。 $^{235} U$ を含むものは $M = 349$ 、 $^{238} U$ を含むものは $M = 352$ である。 $1$ 回穴を通すと、 $^{235}$ の割合はもとの何倍になるか。 $352/349 = 1.00429$ とする。

(3) 天然のウランでは $^{235}$ が $0.72 %$ 、 $^{238}$ が $99.28 %$ である。原子炉用の $3.0 %$ にするには、 $(2)$ の操作を何回くり返す必要があるか。 $lo g_{e}$ を用いて求めよ。 $lo g_{e} 4.264 = 1.4504$ 、 $lo g_{e} 1.00429 = 0.00428$ とする。

(4) この方法が「濃縮は技術的に難しい」といわれる理由を、 $(2)$ と $(3)$ の結果から説明せよ。

ヒントを見る

$1$ 回の操作で存在比は何倍になるか。それをくり返すと、何回で目標に届くか。

解答・解説

方針

漏れる速さがモル質量の平方根に反比例することから、 $2$ 種類の比が出る。 $1$ 回の操作で存在比が一定の割合だけ増えるので、くり返しは等比数列になり、必要な回数は対数で求まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分子の速さは質量が小さいほど速い。同じ温度なら運動エネルギーが同じなので、軽い分子ほど速く動くからである。

だから穴から先に出ていくのは軽いほうである。この「わずかな差」を何度もくり返して積み上げるのが、気体拡散法による同位体分離である。

$1$ 回でどれだけ差がつくかを求め、それを等比数列として何回くり返すかを計算する、という流れになる。

① 水素と酸素。 速さはモル質量の平方根に反比例するから

$\frac{v _{H}}{v _{O}} = \frac{32}{2.0} = 16 = 4$

水素は酸素の $4$ 倍の速さで漏れる。

重要同じ温度なら、軽い分子ほど速い(

v \propto \frac{1}{M}

)。漏れる速さもこの比になる

② ウランの場合。

$\frac{v _{235}}{v _{238}} = \frac{352}{349} = 1.00429$

穴を通り抜けた気体では、 $^{235}$ の割合が $1.00429$ 倍になる。増えるのはたったの $0.43 %$ である。

③ 必要な回数。 $1$ 回ごとに存在比(数の比 $^{235} :^{238}$ )が $1.00429$ 倍になる。 $n$ 回くり返すと $1.0042 9^{n}$ 倍である。

はじめの存在比は

$r_{0} = \frac{0.72}{99.28} = 7.25 \times 1 0^{- 3}$

目標は

$r_{1} = \frac{3.0}{97.0} = 3.09 \times 1 0^{- 2}$

比は $\frac{r _{1}}{r _{0}} = 4.264$ だから

$1.0042 9^{n} = 4.264$

両辺の自然対数をとる。

$n = \frac{lo g _{e} 4.264}{lo g _{e} 1.00429} = \frac{1.4504}{0.00428} \approx 339$

約 $339$ 段の操作が必要である。

存在比の増え方(縦軸ははじめの何倍か)。1 段あたり 0.43 % ずつなので、目標に届くまで約 339 段かかる。

④ 難しさの理由。 $1$ 回の操作で得られる差はわずか $0.43 %$ しかない。しかも各段で気体を圧縮して次の段へ送らねばならず、そのたびに大きな動力を使う。

必要な段数が数百に達するため、施設は巨大になり、消費電力も莫大になる。実際の気体拡散法の工場では $1000$ 段以上の装置が連なり、発電所並みの電力を消費していた。

「原理は簡単だが実行が困難」という典型例で、これが核物質の管理において重要な意味をもっている。

まとめ $\frac{1}{M}$ という弱い依存性が、同位体のようにわずかしか質量が違わない場合には $0.43 %$ の差にしかならない。それを積み上げるには対数に比例した回数が要る。

発展 — 一歩先へ。 現在の主流は遠心分離法である。高速で回転する筒の中では、重い分子ほど外側に集まる。この効果は質量の差そのもの( $M_{2} - M_{1}$ )に比例するので、平方根の比より大きな分離係数が得られる。

同じ「わずかな質量差を利用する」でも、どの物理量に効かせるかで効率が桁違いに変わる。 $M$ の比を使うか、 $M$ の差を使うか——この選択が技術の世代を分けている。

答

$4$ 倍、 $1$ 回で $1.00429$ 倍、約 $339$ 回、 $1$ 回の効果が $0.43 %$ しかないため何百段も必要になる

別解

近似で見積もるルート。 ③ の対数計算は、近似を使えば筆算でも見当がつく。

$x$ が小さいとき $lo g_{e} (1 + x) \approx x$ である。 $1$ 段の係数は $1 + 0.00429$ だから

$lo g_{e} 1.00429 \approx 0.00429$

つまり分母はほぼ「 $1$ 段で増える割合」そのものである。

一方、分子の $lo g_{e} 4.264$ は、 $4.264 \approx 4$ と見て $lo g_{e} 4 = 2 lo g_{e} 2 \approx 1.386$ とすれば十分な精度である。

$n \approx \frac{1.39}{0.0043} \approx 320$

正確な値 $339$ に近い。桁を確かめる程度なら、この見積もりで足りる。

一般に「 $1$ 回で $x$ の割合だけ増える操作を、 $k$ 倍にするまでくり返す回数」は

$n \approx \frac{lo g _{e} k}{x}$

と書ける。複利計算でも半減期でも顔を出す形で、覚えておくと見積もりが速い。

ポイント

漏れる速さはモル質量の平方根に反比例する
同位体では質量差が小さいので、1 段の分離係数は 1.004 程度
くり返しは等比数列。必要な段数は対数で決まる
約 339 段。原理は簡単でも実行が難しい理由

よくある間違い

速さの比をモル質量の比としてしまう(平方根)
存在比でなく百分率をそのまま何倍かする(比 235/238 で考える)
くり返しを等差数列とみて足し算にしてしまう