音速が語る気体の性質

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 音速の式には $\gamma$ が入っている。つまり音速を測れば、気体の比熱比という「熱の性質」が分かることになる。

歴史的にはこれが逆に働いた。ニュートンは等温を仮定して計算し、実測と $15\%$ ほど合わなかった。その食い違いが「音波は断熱変化である」ことを教えたのである。

計算そのものは代入だけだが、値の意味を読むことがこの問題の中身になる。

① 空気中の音速。

$$v=\sqrt{\frac{1.4\times 8.3\times 300}{2.9\times 10^{-2}}}=\sqrt{\frac{3486}{2.9\times 10^{-2}}}=\sqrt{1.20\times 10^5}\approx 3.5\times 10^{2}m/s$$

実測の $346m/s$ とよく合う。

② 等温として計算すると。 $\gamma =1$ とすると

$$v^{\prime }=\sqrt{\frac{8.3\times 300}{2.9\times 10^{-2}}}\approx 2.9\times 10^{2}m/s$$

実測より $15\%$ ほど小さい。$2$ つの値の比は

$$\frac{v}{v^{\prime }}=\sqrt{\gamma }=\sqrt{1.4}=1.18$$

食い違いはちょうど $\sqrt{\gamma }$ 倍である。

③ なぜ断熱か。 音波では、圧縮された部分と膨張した部分が半波長ごとに交互に並ぶ。可聴音なら半波長は数十 cm から数 m である。

圧縮された部分は温度が上がり、膨張した部分は下がる。この温度差がならされるには熱が伝わる必要があるが、空気の熱伝導は遅い。

一方、音の振動は $1$ 秒に数百回から数千回もくり返される。熱が伝わるひまがないうちに次の圧縮が来るので、実質的に断熱変化とみなせる。

④ ヘリウム中の音速。

$$v=\sqrt{\frac{\frac{5}{3}\times 8.3\times 300}{4.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{\frac{4150}{4.0\times 10^{-3}}}\approx 1.0\times 10^{3}m/s$$

空気の約 $3$ 倍である。

声が変わるのは、声帯の振動数が変わるからではない。声帯の振動数はほぼ同じで、変わるのは口や喉の空洞の共鳴振動数である。

共鳴の振動数は $\frac{v}{(\text{管の長さで決まる波長})}$ に比例するので、音速が $3$ 倍になれば共鳴の振動数も約 $3$ 倍になる。その結果、声に含まれる高い成分が強調されて、あの独特の声になる。

まとめ 音速の式には気体の性質($\gamma$ と $M$)が両方入っている。だから音速を測ることは、気体の熱的な性質を測ることでもある。

発展 — 一歩先へ。 ② の食い違いを解決したのはラプラスである($1816$ 年)。ニュートンの計算から約 $130$ 年後のことだった。

この $15\%$ という差は、当時の測定精度でも十分に見える大きさだった。「理論と実測が合わない」ことが、気体の断熱変化という新しい理解に導いたのである。

物理では、精密な測定が理論の欠陥を暴くという場面がくり返し現れる。水星の近日点移動が一般相対論を、黒体放射のずれが量子論を呼び込んだのと、同じ構図である。

別解

温度計として使うルート。 音速の式を $T$ について解くと、音速から温度が測れる。

$$T=\frac{M{v}^2}{\gamma R}$$

音速は「距離 ÷ 時間」で精密に測れるので、これは接触せずに気体の温度を測る方法になる。

たとえば $v=346m/s$ を測ったとすると

$$T=\frac{2.9\times 10^{-2}\times 346^2}{1.4\times 8.3}=\frac{3472}{11.62}\approx 299\mathrm{K}$$

温度計を差しこめない高温の炉の中や、燃焼中のガスの温度を測るのに、この原理が使われている(音響温度計)。

また $v\propto \sqrt{T}$ なので、温度が $1\%$ 変わると音速は $0.5\%$ 変わる。$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ で $331m/s$、$15{}^{\circ }\mathrm{C}$ で $340m/s$ という日常的な値も、この関係から出てくる。

$1$ つの式を「何を測って何を知るか」の向きを変えて読むと、道具としての使い道が見えてくる。