長方形サイクルの熱効率

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 熱効率の分母は「吸収した熱だけの合計」である。だから各過程の $Q$ の符号を調べることが、この問題の中心になる。温度が与えられていないが、$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T=\frac{3}{2}\Delta (PV)$ を使えばグラフの座標だけで全計算ができる。

① 各過程の Q。

• A→B(定積昇圧): $W=0$、$Q=\Delta U=\frac{3}{2}V\Delta P=\frac{3}{2}\times 2.0\times 10^{-3}\times 2.0\times 10^5=600\mathrm{J}$(吸収)
• B→C(定圧膨張): $Q=\frac{5}{2}P\Delta V=\frac{5}{2}\times 3.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=3000\mathrm{J}$(吸収)
• C→D(定積降圧): $Q=\frac{3}{2}V\Delta P=\frac{3}{2}\times 6.0\times 10^{-3}\times (-2.0\times 10^5)=-1800\mathrm{J}$(放出)
• D→A(定圧圧縮): $Q=\frac{5}{2}P\Delta V=\frac{5}{2}\times 1.0\times 10^5\times (-4.0\times 10^{-3})=-1000\mathrm{J}$(放出)

② 吸収の合計。

$$Q_{in}=600+3000=3.6\times 10^3\mathrm{J}$$

③ 熱効率。 正味の仕事は囲む面積 $W=2.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=800\mathrm{J}$。

$$e=\frac{W}{Q_{in}}=\frac{800}{3600}=\frac{2}{9}\approx 0.22$$

まとめ検算として、放出の合計 $1800+1000=2800\mathrm{J}$ に対し $Q_{in}-Q_{out}=3600-2800=800\mathrm{J}=W$。熱の収支が囲む面積と一致することを必ず確かめる。定積は $\frac{3}{2}V\Delta P$、定圧は $\frac{5}{2}P\Delta V$ となる。グラフの座標だけで Q を書くこの方法は、サイクル問題で共通に使える。

別解

温度を置いて確かめるルート。 $n=1\mathrm{mol}$、$R=8.3$ と仮定すると $T=\frac{PV}{nR}$ より $T_A=24.1$、$T_B=72.3$、$T_C=217$、$T_D=72.3\mathrm{K}$。温度は A→B で 3 倍、B→C でさらに 3 倍になる。温度の比は圧力比・体積比そのままである。

$Q_{AB}=\frac{3}{2}nR(T_B-T_A)=\frac{3}{2}\times 8.3\times 48.2=600\mathrm{J}$。温度経由でも同じ値に着地する。どちらの経路でも解けるようにしておくと、出題形式(温度が与えられる/座標だけ)に振り回されない。