P-V グラフと仕事

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 気体がピストンを押す力は $PS$、押した距離が $d$ なら仕事は $PS\times d=P\times (Sd)=P\Delta V$。「力×距離」が「圧力×体積変化」に化ける——これが気体の仕事の基本式である。

① 代入する。

$$W=2.0\times 10^5\times (5.0-3.0)\times 10^{-3}=2.0\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}=4.0\times 10^2\mathrm{J}$$

まとめ グラフの縦($2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$)×横($2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)=長方形の面積 $400\mathrm{J}$。「P-V グラフの下の面積=仕事」は定圧に限らず、圧力が変わる曲線の過程でも成り立つ万能の読み方である(細い短冊 $P\Delta V$ の積み重ねと見ればよい)。サイクルの問題ではこの面積の見方が主役になる。

別解

ピストンの力学に戻るルート。 断面積を仮に $S=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ とすると、気体がピストンを押す力は $F=PS=2.0\times 10^3\mathrm{N}$。体積が $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ 増えるにはピストンが $d=\Delta V/S=0.20\mathrm{m}$ 動く。

$$W=Fd=2.0\times 10^3\times 0.20=4.0\times 10^2\mathrm{J}$$

$S$ をどう仮定しても答えは同じ($S$ が約分される)——だから $W=P\Delta V$ と、$S$ 抜きで書けるのである。