物理 / 気体の熱力学

カルノーサイクル — 効率は温度だけで決まる

最難関編熱機関等温変化断熱変化

問題

$1 mol$ の単原子分子理想気体に、次の $4$ つの変化をこの順に行わせる。

$A \to B$ : 温度 $T_{H} = 600 K$ に保ったまま、体積を $2$ 倍にする(等温膨張) $B \to C$ : 断熱的に膨張させ、温度を $T_{L} = 300 K$ にする $C \to D$ : 温度 $T_{L}$ に保ったまま圧縮する $D \to A$ : 断熱的に圧縮して、はじめの状態にもどす

等温変化で気体がする仕事は $W = n R T lo g_{e} \frac{V _{後}}{V _{前}}$ 、断熱変化では $T V^{γ - 1}$ が一定である。 $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.693$ とする。

2 つの等温変化と 2 つの断熱変化でできたサイクル。断熱線のほうが等温線より急である。

(1) $A \to B$ で気体が吸収する熱を求めよ。

(2) $B \to C$ と $D \to A$ の関係から、 $\frac{V _{C}}{V _{D}} = \frac{V _{B}}{V _{A}}$ となることを示せ。

(3) $C \to D$ で放出する熱を求め、このサイクルの熱効率を求めよ。

(4) (2) の結果を使って、効率が $1 - \frac{T _{L}}{T _{H}}$ となることを、体積比を用いずに示せ。

ヒントを見る

熱が出入りするのはどの過程か。断熱の $2$ 辺には、体積についてどんな関係があるか。

解答・解説

方針

等温変化では内部エネルギーが変わらないので、吸収した熱がそのまま仕事になる。断熱変化では熱の出入りがない。だから熱の出入りは $2$ つの等温変化だけで、効率はその比で決まる。 $2$ つの断熱変化の関係から体積比が等しくなり、対数が約分で消えるのが要点である。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 熱効率は $\frac{( 正味の仕事 )}{( 吸収した熱 )}$ である。仕事を $4$ つの過程すべてで計算するのは大変に見える。

しかし熱の出入りがあるのは等温の $2$ 辺だけである(断熱では $Q = 0$ )。そして等温では内部エネルギーが変わらないので、 $Q$ と $W$ が等しい。

だから必要なのは $2$ つの $Q$ だけで、しかもどちらも $n R T lo g_{e} (体積比)$ の形をしている。 $2$ つの体積比が等しいと分かれば、対数が約分で消えて、温度だけが残る。

① 吸収する熱。 等温変化では温度が変わらないので $Δ U = 0$ 、したがって $Q = W$ である。

$Q_{H} = n R T_{H} lo g_{e} 2 = 1.0 \times 8.3 \times 600 \times 0.693 \approx 3.5 \times 1 0^{3} J$

② $2$ つの断熱変化の関係。 断熱では $T V^{γ - 1}$ が一定だから

$T_{H} V_{B}^{γ - 1} = T_{L} V_{C}^{γ - 1}, T_{H} V_{A}^{γ - 1} = T_{L} V_{D}^{γ - 1}$

辺々を割ると $T$ が消える。

$(\frac{V _{B}}{V _{A}})^{γ - 1} = (\frac{V _{C}}{V _{D}})^{γ - 1} ⟹ \frac{V _{C}}{V _{D}} = \frac{V _{B}}{V _{A}}$

膨張の比と圧縮の比が等しい。これがこのサイクルのしくみである。

重要

2

つの断熱変化ではさむと、

2

つの等温変化の体積比が自動的に等しくなる

③ 放出する熱と効率。 $C \to D$ は等温圧縮で、体積比は ② より $2$ である。

$Q_{L} = n R T_{L} lo g_{e} 2 = 1.0 \times 8.3 \times 300 \times 0.693 \approx 1.7 \times 1 0^{3} J$

正味の仕事は $Q_{H} - Q_{L} \approx 1.7 \times 1 0^{3} J$ だから

$e = \frac{Q _{H} - Q _{L}}{Q _{H}} = 1 - \frac{1.7 \times 1 0 ^{3}}{3.5 \times 1 0 ^{3}} = 0.50$

④ 一般の形。 ② より $2$ つの対数は等しい。それを $lo g_{e} k$ と書くと

$\frac{Q _{L}}{Q _{H}} = \frac{n R T _{L} lo g _{e} k}{n R T _{H} lo g _{e} k} = \frac{T _{L}}{T _{H}}$

$n$ も $R$ も対数も消えて、温度の比だけが残る。

$e = 1 - \frac{Q _{L}}{Q _{H}} = 1 - \frac{T _{L}}{T _{H}} = 1 - \frac{300}{600} = 0.50$

まとめ カルノーサイクルの効率は、気体の種類にも量にも体積比にもよらず、 $2$ つの温度だけで決まる。 $2$ つの断熱変化が体積比をそろえてくれるからである。

発展 — 一歩先へ。 この効率は、 $2$ つの温度のあいだで働くどんな熱機関でも超えられない上限である。もし超える機関があれば、それとカルノー機関を逆に回したものを組み合わせて、低温から高温へ勝手に熱を移す装置ができてしまう(熱力学第 $2$ 法則に反する)。

現実の火力発電所では、高温側が $800 K$ 程度、低温側が冷却水の $300 K$ 程度なので、上限は $1 - \frac{300}{800} \approx 0.63$ である。実際の効率は $0.4$ 前後で、この上限が「これ以上は原理的に無理」という天井として効いている。

効率を上げるには高温側の温度を上げるしかない。材料の耐熱性が発電効率を決めている、というのはこの式の帰結である。

答

吸収 $3.5 \times 1 0^{3} J$ 、 $\frac{V _{C}}{V _{D}} = \frac{V _{B}}{V _{A}}$ 、放出 $1.7 \times 1 0^{3} J$ で効率 $0.50$ 、一般に $e = 1 - \frac{T _{L}}{T _{H}}$

別解

$P$ - $V$ 図の面積として見るルート。 効率の式を使わずに、図の上で「正味の仕事はサイクルが囲む面積」と読む方法もある。

等温線は $P = \frac{n R T}{V}$ の双曲線、断熱線は $P = \frac{k}{V ^{γ}}$ でそれより急な曲線である。 $4$ 本で囲まれた領域の面積が正味の仕事にあたる。

このとき、 $T_{H}$ と $T_{L}$ を近づけていくと、 $2$ 本の等温線が近づいて囲む面積が小さくなる。逆に温度差を広げれば面積が広がる。「温度差が仕事を生む」という関係が、図の形として見える。

さらに、断熱線が等温線より急であることも効いている。もし同じ傾きなら $4$ 本が重なって面積が $0$ になり、仕事は取り出せない。断熱では温度変化のぶんだけ余分に圧力が変わるので、 $2$ 種類の曲線に差が生まれる。

計算をする前にこの図を描いておくと、「なぜ温度差が必要か」「なぜ $4$ つの過程が要るのか」が納得できる。

ポイント

熱が出入りするのは等温の 2 辺だけ(断熱は Q=0)
等温では ΔU=0 なので Q=W=nRT log(体積比)
2 つの断熱変化から、2 つの等温の体積比が等しくなる
だから対数が約分で消え、効率は温度だけで決まる e=1−TL/TH

よくある間違い

断熱変化でも熱が出入りすると考える(Q=0)
等温変化で ΔU が変わると考える(温度一定なので 0)
2 つの等温の体積比が違うと思い込む(断熱の関係から等しくなる)