ピストンで仕切られた 2 室

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 室あって未知数が多く見えるが、決められるところから決めていく。

ピストンがなめらかで質量が無視できるなら、両側の圧力はつねに等しい。そして右室は温度が固定されているので、体積さえ決まればボイルの法則で圧力が出る。

つまり「右室 → 圧力 → 左室」の順に確定する。左室の温度は最後に状態方程式で求まる。

仕事も同じ順序で考える。左室が押した相手は右室だから、左室がした仕事は右室がされた仕事に等しい。

① 圧力。 右室は等温だからボイルの法則が使える。

$$P_0{V}_0=P_1{V}_1⟹P_1=\frac{1.0\times 10^5\times 1.0\times 10^{-3}}{0.50\times 10^{-3}}=2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$$

ピストンがつり合っているので、左室の圧力も同じ $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ である。

② 左室の体積と温度。 全体の体積は変わらないので

$$V_{\text{左}}=2V_0-0.50\times 10^{-3}=1.5\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$$

状態方程式の比をとる。

$$\frac{P_1{V}_{\text{左}}}{T}=\frac{P_0{V}_0}{T_0}⟹T=T_0\cdot \frac{P_1{V}_{\text{左}}}{P_0{V}_0}=300\times \frac{2.0\times 10^5\times 1.5\times 10^{-3}}{1.0\times 10^5\times 1.0\times 10^{-3}}$$

$$T=300\times 3=900\mathrm{K}$$

③ 左室がした仕事。 左室が押しているのはピストンで、その先は右室である。ピストンは軽いので、左室がした仕事はそのまま右室がされた仕事になる。

右室は等温圧縮なので

$$W=nR{T}_0{\log }_e\frac{V_0}{V_1}=P_0{V}_0{\log }_{e}2=1.0\times 10^5\times 1.0\times 10^{-3}\times 0.693\approx 69\mathrm{J}$$

④ 熱の収支。 左室について第 $1$ 法則を使う。単原子分子だから

$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T=\frac{3}{2}\left(P_1{V}_{\text{左}}-P_0{V}_0\right)=\frac{3}{2}(300-100)=300\mathrm{J}$$

$$Q=\Delta U+W=300+69=3.7\times 10^2\mathrm{J}$$

右室については、温度が変わらないので $\Delta U=0$ である。

$$Q_{\text{右}}=\Delta U+W_{\text{右}}=0+(-69)=-69\mathrm{J}$$

負なので、右室は $69\mathrm{J}$ を恒温槽に放出している。押しこまれたぶんのエネルギーを、そのまま熱として外へ捨てていることになる。

まとめ 「圧力が共通」「決まる室から決める」「仕事は受け渡し」の $3$ 点で、$2$ 室の問題はほどける。左室に入れた $369\mathrm{J}$ のうち、$300\mathrm{J}$ は左室の内部エネルギーに、$69\mathrm{J}$ は右室を通って外へ出ていった。

発展 — 一歩先へ。 もし右室も断熱だったら、右室は断熱圧縮で温度が上がる。すると同じ体積まで縮めるのに必要な圧力が大きくなり、左室の温度もさらに高くなる。

「相手の壁が熱を通すかどうか」で、同じ操作の結果が変わる。熱力学の問題では、まず各室の壁の性質(断熱か、熱を通すか)を確認するのが第一手になる。

別解

エネルギーの流れを $1$ 本の図にするルート。 ④ の収支は、系全体で見るともっと簡単に確かめられる。

シリンダー全体(左室 + 右室)を $1$ つの系とみなす。外壁は断熱で、外とやりとりするのは「電熱線からの熱 $Q$」と「右室から恒温槽へ出る熱 $Q_{\text{右}}$」だけである。全体の体積は変わらないので、外に対する仕事は $0$ である。

$$Q-|Q_{\text{右}}|=\Delta U_{\text{全体}}=\Delta U_{\text{左}}+\Delta U_{\text{右}}$$

右室は等温なので $\Delta U_{\text{右}}=0$、左室は $300\mathrm{J}$ だから

$$Q=300+|Q_{\text{右}}|$$

そして $|Q_{\text{右}}|$ は右室が受けた仕事 $69\mathrm{J}$ に等しい(等温なので受けた仕事はそのまま熱で出ていく)。

$$Q=300+69=369\mathrm{J}$$

個々の室で第 $1$ 法則を書くより、系全体でエネルギーの出入りを数えるほうが見通しがよいことがある。「何が外と出入りするか」を最初に描いておくと、符号のミスも減る。