物理 / 気体の熱力学

熱気球の原理

★★ 標準状態方程式密度

問題

熱気球の球皮の中の空気を、外気と同じ圧力のまま $300 K$ から $400 K$ まで温めた。中の空気の密度は元の何倍になるか。また、気球が浮かぶ理由を密度の言葉で説明せよ。

中の空気を温めて外気より軽くする——熱気球の原理

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密度=質量/体積。圧力一定で温めると体積はどうなるか(シャルルの法則)。体積が増えれば、同じ質量の空気の密度はどうなるか——と 2 段で追えば比が出る。

解答・解説

圧力一定で ρ=PM/RT∝1/T。T が 4/3 倍→密度 3/4 倍。軽くなった分が浮力の余りになる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「温めると膨らむ」(シャルル)を密度の言葉に翻訳する。同じ質量の空気が大きな体積に薄まるのだから、密度は体積の逆数で効く。

① 体積の倍率。 圧力一定で $V \propto T$ :

$\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3} 倍$

② 密度の倍率。 $ρ = \frac{m}{V} \propto \frac{1}{V} \propto \frac{1}{T}$ だから

$\frac{ρ _{2}}{ρ _{1}} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4} 倍$

③ 浮かぶ理由。 気球にはたらく浮力は「押しのけた外気の重さ」で決まる。中の空気が外気の $\frac{3}{4}$ の密度になると、浮力(外気の重さ)>中身の空気の重さとなり、その差でゴンドラや球皮の重さを支えられる。

まとめ 状態方程式を密度で書き直すと $ρ = \frac{P M}{R T}$ ( $M$ : モル質量)——圧力一定なら密度は絶対温度に反比例。この形は、上空ほど空気が薄い理由(P 低下)や、冬の冷気が足元に溜まる理由(T 低下で重い)まで、一気に説明してくれる。

答

$\frac{3}{4}$ 倍(0.75 倍)。中の空気が外気より軽くなり、浮力(外気の重さ分)が中身+機体の重さを上回るから

具体的な数で浮力を見積もるルート。 球皮の容積を $1000 m^{3}$ 、外気の密度を $1.2 kg/ m^{3}$ とすると、外気なら中身は $1200 kg$ 。 $400 K$ に温めた空気は $\frac{3}{4}$ 倍の $900 kg$ 。

浮力は押しのけた外気分 $1200 kg$ 重、中身は $900 kg$ 重——差の 300 kg 重で人と機体を持ち上げる。実際の熱気球の積載量もこのオーダーであり、教科書の比の計算が実物の設計と地続きであることが分かる。