物理 / 気体の熱力学

理想気体の状態方程式

★ 基礎状態方程式

問題

$2.0 mol$ の理想気体を温度 $300 K$ 、圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ に保つ。このときの体積を求めよ。気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とする。

ピストンで圧力を一定に保った 2.0 mol の気体

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物質量 n が出てきたら状態方程式の出番。V について解いてから代入しよう。答えがおよそ何リットルになるかも見ておくと、常識的な検算ができる。

解答・解説

方針

PV=nRT を V について解いて代入: V=2.0×8.3×300/1.0×10⁵=4.98×10⁻²≈5.0×10⁻² m³。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ボイル・シャルルは「変化の前後」を比べる式だが、この問題はひとつの状態そのものを問うている。mol 数が与えられたら状態方程式の出番である。

公式理想気体の状態方程式:

P V = n R T

(

n

: 物質量、

R = 8.3 J/ (mol \cdot K)

)

① V について解いて代入する。

$V = \frac{n R T}{P} = \frac{2.0 \times 8.3 \times 300}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = \frac{4980}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = 4.98 \times 1 0^{- 2} \approx 5.0 \times 1 0^{- 2} m^{3}$

まとめ $5.0 \times 1 0^{- 2} m^{3} = 50 L$ 。つまり 1 mol あたり約 25 L——「常温・大気圧の気体 1 mol はバケツ 2 杯半」という体感を持っておくと、桁ミスに自分で気づけるようになる(0 ℃ なら化学で習う 22.4 L に対応する)。

答

$V = \frac{n R T}{P} = 5.0 \times 1 0^{- 2} m^{3}$ (約 50 L)

別解

ボイル・シャルルとの関係で見るルート。 状態方程式の右辺 $n R T$ を左に寄せると $\frac{P V}{T} = n R$ 。ボイル・シャルルの「 $\frac{P V}{T} =$ 一定」の一定の正体が $n R$ だったのである。

つまり状態方程式は、ボイル・シャルルに「気体の量( $n$ )」の情報を書き加えた完全版で、mol 数が絡む問題・絡まない問題で 2 つの式を使い分ければよい。

ポイント

mol 数が出たら PV=nRT
1 mol ≈ 25 L(300 K・大気圧)の体感
PV/T=一定の正体は nR

よくある間違い

R の単位系と P・V の単位(Pa・m³)の不整合
体積を L のまま代入する
n を掛け忘れる