物理 / 気体の熱力学

平均運動エネルギーと温度

★★ 標準分子運動論

問題

温度 $300 K$ の理想気体がある。分子の平均運動エネルギーを 2 倍にするには、温度を何 K にすればよいか。また、二乗平均速度は何倍になるか。

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平均運動エネルギーは温度に比例する——これだけで前半は決まる。後半は「エネルギーが 2 倍のとき速さは何倍か」という力学の問いに翻訳できる。2 乗の関係に注意しよう。

解答・解説

E=(3/2)kT∝T なので 2 倍→600 K。v²∝T だから v は √2 倍。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\overline{E} = \frac{3}{2} k T$ は温度に正比例——「エネルギー 2 倍=絶対温度 2 倍」と即答できる。後半は $E = \frac{1}{2} m \overline{v^{2}}$ の 2 乗の関係を思い出す。

① 温度。

$T^{'} = 2 \times 300 = 600 K$

② 速さの倍率。 エネルギーが 2 倍なら $\overline{v^{2}}$ も 2 倍。速さはその平方根で

$2 \approx 1.4 倍$

平均運動エネルギーは絶対温度に比例。2 倍の 600 K へ

まとめ 「温度 2 倍」は日常の感覚(℃)では起こりにくいが、絶対温度では 300 K→600 K=約 327 ℃ であり、実験室で普通に作れる。エネルギーは温度に比例、速さは温度の平方根に比例——1 乗と半乗の区別は、分子運動論の計算全体で繰り返し効いてくる。

答

$600 K$ 。速さは $2$ 倍(約 1.4 倍)

℃ の罠を体験するルート。 もし「30 ℃ の 2 倍は 60 ℃」とやると、絶対温度では 303 K→333 K でわずか 1.1 倍にしかならない。エネルギーの倍率を語れるのは絶対温度だけである。

セ氏は「水の凍る点を 0 とした人間の都合の目盛り」、絶対温度は「分子のエネルギーがゼロになる点を 0 とした自然の目盛り」——この由来の違いを一度意識すると、℃ のまま比を取る誤りは二度と犯さなくなる。