平均運動エネルギーと温度

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\overline{E}=\frac{3}{2}kT$ は温度に正比例する。だから「エネルギー 2 倍=絶対温度 2 倍」とすぐに答えられる。後半は $E=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$ の 2 乗の関係を思い出す。

① 温度。

$$T^{\prime }=2\times 300=600\mathrm{K}$$

② 速さの倍率。 エネルギーが 2 倍なら $\overline{v^2}$ も 2 倍。速さはその平方根で

$$\sqrt{2}\approx 1.4倍$$

まとめ 「温度 2 倍」は日常の感覚(℃)では起こりにくいが、絶対温度では 300 K→600 K=約 327 ℃ であり、実験室で普通に作れる。エネルギーは温度に比例、速さは温度の平方根に比例する。この 1 乗と半乗の区別は、分子運動論の計算で何度も必要になる。

別解

℃ のまま計算するとどうなるかを確かめる方法。 もし「30 ℃ の 2 倍は 60 ℃」とやると、絶対温度では 303 K→333 K でわずか 1.1 倍にしかならない。エネルギーの倍率を語れるのは絶対温度だけである。

セ氏は「水の凍る点を 0 とした人間の都合の目盛り」、絶対温度は「分子のエネルギーがゼロになる点を 0 とした自然の目盛り」である。この由来の違いを一度意識しておけば、℃ のまま比を取る誤りは防げる。