直流回路 — キルヒホッフの法則・電池・非直線抵抗

抵抗率 $1.1\times 10^{-6}\Omega \cdot \mathrm{m}$ のニクロム線(長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $5.5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$)の抵抗を求めよ。また、同じ材質で長さを 2 倍・断面積を半分にすると抵抗は何倍になるか。

$2.0\Omega$ と $3.0\Omega$ の抵抗を直列につなぎ、$10\mathrm{V}$ の電源に接続した。(1) 回路を流れる電流 (2) 各抵抗にかかる電圧 を求めよ。

$2.0\Omega$ と $3.0\Omega$ の抵抗を並列につなぎ、$6.0\mathrm{V}$ の電源に接続した。(1) 各抵抗を流れる電流 (2) 電源から流れ出る全電流 (3) 合成抵抗 を求めよ。

回路のある接続点に、電流 $4.0\mathrm{A}$ と $2.0\mathrm{A}$ が流れ込み、1 本の導線が流れ出している。(1) 流れ出す電流を求めよ。 (2) この法則(キルヒホッフの第 1 法則)が成り立つ理由を、電荷という言葉を使って説明せよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池(内部抵抗なし)に、$2.0\Omega$ と $4.0\Omega$ の抵抗を直列につないだ。回路を一周する向きに沿って「起電力の和=電圧降下の和」の式を立て、電流を求めよ。

起電力 $1.6\mathrm{V}$、内部抵抗 $0.50\Omega$ の電池に $3.5\Omega$ の抵抗をつないだ。(1) 回路を流れる電流 (2) 電池の端子電圧 を求めよ。

内部抵抗 $9.0\Omega$、最大 $10\mathrm{mA}$ まで測れる電流計がある。これで最大 $100\mathrm{mA}$ まで測れるようにしたい。(1) 抵抗(分流器)を電流計にどうつなげばよいか。 (2) その抵抗の値を求めよ。

内部抵抗 $1.0\times 10^3\Omega$、最大 $1.0\mathrm{V}$ まで測れる電圧計がある。これで最大 $10\mathrm{V}$ まで測れるようにしたい。(1) 抵抗(倍率器)を電圧計にどうつなげばよいか。 (2) その抵抗の値を求めよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池に $2.0\Omega$ と $4.0\Omega$ の抵抗を直列につなぎ、$4.0\Omega$ に並列に $3.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつないだ。十分に時間がたった後の、(1) 回路を流れる電流 (2) コンデンサーの電圧と電気量 を求めよ。

$2.0\Omega$ と $3.0\Omega$ の抵抗について、(1) $10\mathrm{V}$ の電源に直列につないだときの各抵抗の消費電力 (2) $6.0\mathrm{V}$ の電源に並列につないだときの各消費電力 を求め、どちらの抵抗が多く消費するかをそれぞれ答えよ。

図のブリッジ回路で、$R_1=2.0\Omega$、$R_2=3.0\Omega$、$R_3=4.0\Omega$ のとき、検流計 G に電流が流れなかった。(1) $R_4$ を求めよ。 (2) G に電流が流れない(平衡)とは、回路のどんな状態か。「電位」という言葉で説明せよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池、$4.0\Omega$ の抵抗、コンデンサー(はじめ電荷 0)、スイッチを直列につないだ。(1) スイッチを入れた直後 (2) 十分に時間がたった後 のそれぞれについて、回路を流れる電流を求めよ。

起電力 $14\mathrm{V}$ の電池と $2.0\Omega$ の抵抗の枝、起電力 $10\mathrm{V}$ の電池と $2.0\Omega$ の抵抗の枝が、$1.0\Omega$ の抵抗に並列に接続されている(電池の向きはどちらも $1.0\Omega$ に電流を流し込む向き)。各枝の電流 $I_1,I_2$ と、$1.0\Omega$ を流れる電流 $I_3$ を求めよ。

抵抗を流れる電流と両端の電圧を同時に測りたい。(1) 電流計と電圧計は、抵抗に対してそれぞれどうつなぐか。 (2) 理想の電流計・電圧計の内部抵抗はそれぞれいくらか。理由とともに答えよ。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の一様な抵抗線を使ったメートルブリッジで、既知抵抗 $R=4.0\Omega$ と未知抵抗 $R_x$ を測る。接点を抵抗線上で動かすと、左端から $40\mathrm{cm}$ の位置で検流計が 0 を示した($R$ は左側、$R_x$ は右側)。$R_x$ を求めよ。

電位差計で電池の起電力を測る。標準電池(起電力 $1.02\mathrm{V}$)をつなぐと、すべり抵抗線上 $51.0\mathrm{cm}$ の点で検流計が 0 になった。未知の電池に取り替えると $60.0\mathrm{cm}$ で 0 になった。(1) 未知の電池の起電力を求めよ。 (2) この方法だと、電池の内部抵抗の影響を受けずに起電力そのものが測れる。理由を述べよ。

基礎の回路(電池 $12\mathrm{V}$、$2.0\Omega$ と $4.0\Omega$ の直列、$4.0\Omega$ に並列の $C=3.0\mu \mathrm{F}$、定常状態で $V_C=8.0\mathrm{V}$)で、スイッチを開いて電池を切り離した。(1) その後、コンデンサーの電荷はどうなるか。 (2) 最終的に発生するジュール熱の総量を求めよ。

ある電池の端子電圧 $V$ を、流す電流 $I$ を変えながら測ったところ、$I=1.0\mathrm{A}$ のとき $V=1.4\mathrm{V}$、$I=3.0\mathrm{A}$ のとき $V=0.60\mathrm{V}$ であった($V$-$I$ グラフは直線)。この電池の起電力 $E$ と内部抵抗 $r$ を求めよ。

起電力 $6.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $1.0\Omega$ の電池に可変抵抗 $R$ をつなぐ。(1) $R$ での消費電力 $P$ を $R$ の式で表せ。 (2) $P$ が最大になる $R$ と、そのときの $P$ を求めよ($R+\frac{1}{R}\ge 2$($R>0$、等号は $R=1$)を使ってよい)。

電流-電圧特性が図の曲線で表される電球を、$2.0\Omega$ の抵抗と直列にして $6.0\mathrm{V}$ の電源につないだ。電球に流れる電流と電球の電圧を求めよ。

$R_1=2.0$、$R_2=2.0$、$R_3=4.0$、$R_4=4.0\Omega$ と中央の橋 $R_5$ からなるブリッジ回路(左枝が上 $R_1$・下 $R_2$、右枝が上 $R_3$・下 $R_4$)の、電源から見た合成抵抗を求めよ。$R_5$ の値は与えられていない。

$7.0\Omega$ の電熱線に $2.0\mathrm{A}$ の電流を $5.0$ 分間流し、発生した熱をすべて $100\mathrm{g}$ の水に与えた。水の温度は何 K 上がるか。水の比熱を $4.2J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$ とする。

起電力 $16\mathrm{V}$、内部抵抗 $1.0\Omega$ の電池に、$4.0\Omega$ と $12\Omega$ の並列抵抗をつないだ。(1) 電池を流れる電流 (2) 端子電圧 (3) 各抵抗を流れる電流 を求めよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池、$2.0\Omega$ の抵抗を直列にし、その先に $4.0\Omega$ の抵抗とコンデンサー(電荷 0)の並列部をつないだ。スイッチを入れた(1) 直後 (2) 十分時間後 に電池を流れる電流をそれぞれ求めよ。(3) 十分後のコンデンサーの電圧も求めよ。

起電力 $12\mathrm{V}$・内部抵抗 $1.0\Omega$ の電池 A で、起電力 $8.0\mathrm{V}$・内部抵抗 $1.0\Omega$ の電池 B を充電する。2 つの電池を(起電力が逆向きになるように)$2.0\Omega$ の抵抗とともに直列 1 ループにつないだ。(1) 回路を流れる電流 (2) 電池 A が毎秒供給するエネルギー(電力)と、その行き先の内訳(各抵抗のジュール熱・B に蓄えられる電力)を求め、収支が合うことを確かめよ。

真の値 $10\Omega$ の抵抗を、電圧計と電流計の読み $V,I$ から $R=\frac{V}{I}$ として測る。電流計の内部抵抗は $1.0\Omega$、電圧計の内部抵抗は $90\Omega$ である。(1) 電圧計が「抵抗+電流計」の両端を測る配線(電流計内蔵型)での測定値 (2) 電流計が「抵抗+電圧計」に流れる電流を測る配線(電圧計内蔵型)での測定値 を求め、それぞれの誤差の向きを述べよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池に $R_1=2.0\Omega$ と $R_2=4.0\Omega$ を直列につなぎ、$R_1$ に並列に $C_1=2.0\mu \mathrm{F}$、$R_2$ に並列に $C_2=4.0\mu \mathrm{F}$ をつないだ。十分に時間がたった後の、(1) 回路の電流 (2) 各コンデンサーの電気量 を求めよ。

電流-電圧特性が表で与えられる同じ電球 2 個を直列にし、$6.0\mathrm{V}$ の電源(抵抗なし)につないだ。流れる電流を求めよ。

1 辺 $3.0\Omega$ の抵抗 12 本を立方体の辺の形につないだ。立方体の対角線の両端 A・G 間の合成抵抗を求めよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池、$4.0\Omega$ の抵抗、$3.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー(電荷 0)を直列につなぎ、$t=0$ でスイッチを入れた。(1) 直後の電流 $I_0$ と、最終的にコンデンサーに蓄えられる電気量 $Q_{\infty }$ を求めよ。 (2) 電流 $I$ とコンデンサーの電気量 $Q$ の時間変化のグラフの概形を描け(減り方・増え方の特徴も述べよ)。

断面積 $1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ の銅線に $1.7\mathrm{A}$ の電流が流れている。銅の自由電子の密度を $8.5\times 10^{28}/{\mathrm{m}}^3$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。(1) 電流を、電子の平均の速さ $v$ を使って表せ($I=envS$ を導け)。 (2) $v$ を求め、その値の意外さを述べよ。

$C_1=2.0\mu \mathrm{F}$ をスイッチで $12\mathrm{V}$ の電池につないで充電した。次にスイッチを切り替え、$C_1$ を(電池から切り離して)抵抗 $R$ を介して空の $C_2=4.0\mu \mathrm{F}$ に接続した。(1) 十分時間後の共通の電圧と各電気量 (2) $R$ で発生した熱の総量 (3) $R$ の値を 2 倍にすると、(1)(2) の答えはどう変わるか。

大きさ $R=1.0\Omega$ の抵抗を、図のように無限にくり返してつないだ回路がある。横向きに $1$ つ、縦向きに $1$ つ、また横向きに $1$ つ、というくり返しが果てしなく続く。

端子 AB から見た合成抵抗を $X$ とする。

(1) この回路から最初の $2$ つの抵抗(横 $1$ つと縦 $1$ つ)を取り除くと、残りはもとの回路とまったく同じ形になる。この事実を使って、$X$ が満たす方程式を作れ。

(2) $X$ を求めよ。

(3) AB 間に $10\mathrm{V}$ の電池をつないだとき、電池から流れ出る電流を求めよ。

(4) $1$ 段目の縦の抵抗に流れる電流と、$2$ 段目の縦の抵抗に流れる電流の比を求めよ。

図のブリッジ回路で、$R_1=R_2=20\Omega$、$R_3=10\Omega$、$R_4=30\Omega$、検流計の抵抗は $R_{\mathrm{g}}=2.5\Omega$、電池の起電力は $12\mathrm{V}$(内部抵抗は無視)である。

(1) この回路は平衡しているか。平衡条件と照らして答えよ。

(2) 検流計をはずしたとき、点 P と点 Q の電位をそれぞれ求めよ。

(3) 検流計から見た回路を「$1$ 個の電池と $1$ 個の抵抗」に置きかえる。その起電力(P Q 間の開放電圧)と抵抗(電池を取り去って PQ から見た抵抗)を求めよ。

(4) 検流計に流れる電流を求めよ。向きも答えよ。

同じ抵抗 $R=12\Omega$ の導線を、縦横に無限に広がる正方形の網の形につなぐ。格子点(交点)はすべて同じで、どの点からも $4$ 本の導線が出ている。

隣り合う $2$ つの格子点 A、B のあいだの合成抵抗を求めたい。次の手順で考える。

(1) 点 A から電流 $I$ を流しこみ、無限の彼方から取り出す。対称性から、A につながる $4$ 本の導線それぞれに流れる電流はいくらか。特に AB 間の導線に流れる電流を答えよ。

(2) 今度は、無限の彼方から電流 $I$ を流しこみ、点 B から取り出す。このとき AB 間の導線に流れる電流はいくらか。

(3) (1) と (2) を重ね合わせると「A から流しこみ、B から取り出す」状況になる。AB 間の導線に流れる電流と、AB 間の電位差を求めよ。

(4) 合成抵抗を求めよ。また、$1$ 点から $n$ 本の導線が出る網では、合成抵抗がどうなるかを答えよ。

起電力 $E_1=12\mathrm{V}$、内部抵抗 $r_1=2.0\Omega$ の電池と、起電力 $E_2=6.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $r_2=2.0\Omega$ の電池を並列につなぎ、外部抵抗 $R$ をつなぐ。

(1) $R=2.0\Omega$ のとき、端子電圧(並列部分の両端の電圧)を求めよ。

(2) そのとき、それぞれの電池を流れる電流と、$R$ を流れる電流を求めよ。

(3) 外部抵抗をはずして開放にすると、端子電圧はいくらになるか。またそのとき電池を流れる電流と、そこで発生する熱の仕事率を求めよ。

(4) (3) の結果から、起電力の違う電池を並列につなぐことの問題点を述べよ。

長さ $L=0.10\mathrm{m}$ の円錐台形の導体がある。一方の端の半径は $a=1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$、他方の端は $b=2.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ で、半径は位置とともに一様に変わる。抵抗率は $\rho =1.7\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$ とする。

電流は断面を一様に流れるものとし、両端の面のあいだの抵抗を考える。

(1) 細いほうの端から距離 $x$ の位置での半径を、$a,b,L,x$ で表せ。

(2) 厚さ $\Delta x$ の薄い円板の抵抗を書き、それらを足し合わせて全体の抵抗が $\frac{\rho L}{\pi ab}$ となることを示せ。

(3) 抵抗の値を求めよ。

(4) 「平均の半径」を使って一様な棒として計算すると、どんな半径を使えばよいか。$\frac{a+b}{2}$ を使うとどうなるか。

$R=0.010\Omega$ ほどの非常に小さい抵抗を測りたい。測定に使うリード線(導線とクリップ)$1$ 本あたりの抵抗は $r_{\ell }=0.50\Omega$ ある。

まず、電流計と電圧計を $1$ 組のリード線でつないで測った($2$ 端子法)。

(1) $2$ 端子法で得られる測定値はいくらか。また誤差は何 $\%$ か。

(2) 次に、電流を流すリード線と、電圧を測るリード線を別々にし、電圧測定用の端子を電流用の内側につないだ($4$ 端子法)。電圧計の内部抵抗は $1.0\times 10^6\Omega$ である。電圧測定用のリード線に流れる電流はどの程度か。

(3) $4$ 端子法での測定値を求めよ。誤差はどの程度か。

(4) $4$ 端子法がリード線の抵抗の影響を受けない理由を説明せよ。

電気容量 $C=1.0\times 10^{-4}\mathrm{F}$ のコンデンサーを、抵抗を通して起電力 $E=100\mathrm{V}$ の電池で充電する。

(1) 充電が完了したとき、コンデンサーに蓄えられるエネルギーと、電池がした仕事を求めよ。差はどこへ行ったか。

(2) (1) の熱は、抵抗の値を変えると変わるか。理由とともに答えよ。

(3) 次に、$50\mathrm{V}$ の電池でいったん充電し、そのあと $100\mathrm{V}$ の電池につなぎかえる($2$ 段階充電)。それぞれの段階で発生する熱を求め、合計を (1) と比べよ。

(4) $n$ 段階に分けた場合、熱の合計はどうなるか。

金属の抵抗は温度とともに増える。温度が $\Delta T$ だけ変わったときの抵抗は

$$R=R_0\left(1+\alpha \Delta T\right)$$

で表される。$\alpha$ を抵抗の温度係数という。

いま、${\alpha }_1=+4.0\times 10^{-3}/K$ の金属でできた抵抗 $R_1$ と、${\alpha }_2=-1.0\times 10^{-2}/K$ の半導体(サーミスタ)でできた抵抗 $R_2$ を直列につなぐ。

(1) 直列につないだ合成抵抗を、$R_1,R_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\Delta T$ で表せ。

(2) 合成抵抗が温度によらなくなる条件を求めよ。

(3) 合計を $35\Omega$ にしたい。$R_1$ と $R_2$ をそれぞれいくらにすればよいか。

(4) (3) の組で $\Delta T=10\mathrm{K}$ のときの $R_1$、$R_2$、合計をそれぞれ求め、条件が満たされていることを確かめよ。また $R_1$ だけを使った場合の変化率と比べよ。