RC 回路の電流の時間変化(グラフ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 両端の値は 2 状態変換で即決。間の形は「変化の速さが“残り”に比例する」という構造から決まる——最初が最も急で、どんどん緩やかになる指数型である。

① 両端の値。

$$I_0=\frac{E}{R}=\frac{12}{4.0}=3.0\mathrm{A},Q_{\infty }=CE=3.0\times 10^{-6}\times 12=3.6\times 10^{-5}\mathrm{C}$$

② グラフの概形。 各瞬間の電流は $I=\frac{E-Q/C}{R}$——たまるほど($Q$ が増えるほど)減る。

• $I$-$t$: $3.0\mathrm{A}$ から出発し、初めが最も急に、しだいに緩やかに 0 へ(下に凸の減衰)
• $Q$-$t$: 0 から初めが最も急に立ち上がり、$Q_{\infty }$ へ漸近(上に凸の飽和)

まとめ $I$ は $Q$ の増える速さそのものだから、$Q$ の接線の傾きが $I$ のグラフ——2 本のグラフは微分の関係で結ばれている。「残りに比例して減る」曲線は、放射性崩壊・気圧・コンデンサー放電——自然界の至る所に現れる指数関数の型である(時定数 $RC$ による定量化は大学で)。

別解

初期の傾きで「もし減らなかったら」を見るルート。 もし $I_0=3.0\mathrm{A}$ のまま流れ続けたら、$Q_{\infty }$ に達する時間は $\frac{Q_{\infty }}{I_0}=\frac{3.6\times 10^{-5}}{3.0}=1.2\times 10^{-5}$ 秒——実はこれが時定数 $RC=4.0\times 3.0\times 10^{-6}$ と一致する。「初期ペースで完了までの時間=時定数」という作図的な意味を知っていると、グラフの横軸の目盛りまで描ける。