物理 / 直流回路

ホイートストンブリッジの平衡条件

★ 基礎ブリッジ

問題

図のブリッジ回路で、 $R_{1} = 2.0 Ω$ 、 $R_{2} = 3.0 Ω$ 、 $R_{3} = 4.0 Ω$ のとき、検流計 G に電流が流れなかった。(1) $R_{4}$ を求めよ。 (2) G に電流が流れない(平衡)とは、回路のどんな状態か。「電位」という言葉で説明せよ。

ブリッジ回路。橋の検流計 G に電流が流れない条件を探る(電源は A-B 間)

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G に電流が流れない=G の両端に電位差がない。左の枝と右の枝で、それぞれ電圧がどう分圧されているか——分圧の比が等しければ中点の電位がそろう。

解答・解説

方針

平衡=橋の両端が等電位。各枝の分圧比が等しい→R1/R2=R3/R4。R4=3.0×4.0/2.0=6.0。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「検流計に電流が流れない」の翻訳は「橋の両端が等電位」である。すると左右の枝は互いに独立な直列分圧器——分圧の比がそろえば中点の電位がそろう。

① 平衡条件。 左枝( $R_{1}$ 上・ $R_{2}$ 下)と右枝( $R_{3}$ 上・ $R_{4}$ 下)の中点が等電位になるのは、分圧比が等しいとき:

公式ブリッジの平衡条件:

\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}}

(たすき掛け

R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}

)

$R_{4} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} = \frac{3.0 \times 4.0}{2.0} = 6.0 Ω$

② 平衡の意味。 G の両端の 2 つの中点の電位が等しく、電位差 0——水位の同じ 2 つの水槽をつないでも水が流れないのと同じである。

まとめ たすき掛け $R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$ の形で覚えると takeoff が速い——ただし「どの抵抗とどの抵抗がたすきか」は図の配置から毎回確認する(回路図の描き方で位置が変わる)。平衡ブリッジは未知抵抗の精密測定器になる(メートルブリッジ・標準)——「電流を流さずに比較する」測定思想の代表である。

答

(1) 平衡条件 $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}}$ より $R_{4} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} = 6.0 Ω$ (2) G の両端(2 つの中点)が等電位で、電位差がないため電流が流れない状態

別解

具体的な電位を入れて確かめるルート。 電源を 10 V とすると、左枝の中点は $10 \times \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 6.0 V$ 、右枝は $10 \times \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} = 10 \times \frac{6.0}{10} = 6.0 V$ ——確かに等電位 ✓。

条件式を忘れたら、両中点の電位を分圧で書いて等号で結べばその場で再現できる——公式の「自家製造法」である。

ポイント

平衡=橋の両端が等電位
分圧比がそろう→たすき掛け
電流を流さない測定の思想

よくある間違い

たすきの相手を取り違える
R4=R1R3/R2 のように混線する
平衡でも G に少し流れると考える