物理 / 直流回路

並列コンデンサーの直後と十分後

★★ 標準コンデンサー過渡

問題

起電力 $12 V$ の電池、 $2.0 Ω$ の抵抗を直列にし、その先に $4.0 Ω$ の抵抗とコンデンサー(電荷 0)の並列部をつないだ。スイッチを入れた(1) 直後 (2) 十分時間後に電池を流れる電流をそれぞれ求めよ。(3) 十分後のコンデンサーの電圧も求めよ。

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基礎では C が直列だったが、今回は 4.0 Ω と並列である。直後の「導線」は並列相手をどうしてしまうか。十分後は「断線」でいつも通り。2 状態の変換規則は同じでも、回路への影響が配置で変わる。

解答・解説

方針

直後=C導線(並列相手を短絡)、十分後=C断線。2 状態変換で両端を出す。位置が並列だと直後の影響が変わるのが見どころ。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変換規則は基礎と同じ「直後=導線、十分後=断線」。今回は配置に注目する。C が $4.0 Ω$ と並列なので、直後の「導線」が並列相手を短絡してしまう。

① 直後。 C=導線が $4.0 Ω$ を短絡(電流は全部導線側へ):

$I_{0} = \frac{12}{2.0} = 6.0 A$

② 十分後。 C=断線で、ただの直列:

$I = \frac{12}{2.0 + 4.0} = 2.0 A$

③ 十分後の VC。 並列相手の $4.0 Ω$ と同じ:

$V_{C} = 4.0 \times 2.0 = 8.0 V$

まとめ電流は直後 6.0 A から十分後 2.0 A へと変わる。電流が減っていく過程で C が充電される。直列配置(基礎)では直後最大から 0 へ、並列配置では直後最大から有限値へと変わる。「2 状態変換は同じ、影響は配置しだい」。どんな複雑な RC 回路でも、この 2 状態変換だけで両端の値は必ず出せる。

答

(1) 直後: C は導線→ $4.0 Ω$ が短絡され $I_{0} = \frac{12}{2.0} = 6.0 A$ (2) 十分後: C は断線→直列で $I = \frac{12}{6.0} = 2.0 A$ (3) $V_{C} = 4.0 \times 2.0 = 8.0 V$

別解

C の電圧の連続性で 2 状態をつなぐルート。 コンデンサーの電圧は急に変われない( $Q$ が瞬間には動けない)ので、直後は $V_{C} = 0$ のままである。この「電圧の連続性」から直後の回路(C の両端の電位差 0=短絡)を導く方が、規則の由来ごと理解できる。

C の電圧は連続で、コイルの電流も連続である。過渡現象で連続になる 2 つの量として対で覚えると、電磁誘導の単元で再び出てきたときに迷わない。

ポイント

直後=導線が並列相手を短絡
十分後=断線で直列
C の電圧は急に変われない

よくある間違い

直後も 2.0+4.0 で割る
十分後の VC を 12 V とする
直後の C の電圧を 8.0 V とする