物理 / 直流回路

計器の内部抵抗による系統誤差

★★★ 応用電流計電圧計誤差

問題

真の値 $10 Ω$ の抵抗を、電圧計と電流計の読み $V, I$ から $R = \frac{V}{I}$ として測る。電流計の内部抵抗は $1.0 Ω$ 、電圧計の内部抵抗は $90 Ω$ である。(1) 電圧計が「抵抗+電流計」の両端を測る配線(電流計内蔵型)での測定値 (2) 電流計が「抵抗+電圧計」に流れる電流を測る配線(電圧計内蔵型)での測定値を求め、それぞれの誤差の向きを述べよ。

2 通りの配線。どちらにも固有の系統誤差が入る

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どちらの配線でも「何かが余計に混ざる」。(1) では電圧計の読みに何が上乗せされるか、(2) では電流計の読みに何が水増しされるか——V/I を計算すると、それぞれ既知の合成の形になる。

解答・解説

方針

配線 (1): V の読みに rA の降下が混入→R+rA。配線 (2): I の読みに電圧計への横取りが混入→R∥rV。誤差の向きが逆になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{V}{I}$ が真の $R$ になるのは計器が理想のときだけ——現実の計器では、配線ごとに決まった向きの誤差(系統誤差)が混入する。どちらの読みが「汚れる」かを追跡する。

① 電流計内蔵型。 電圧計は「抵抗+電流計」の直列全体の電圧を読む:

$R_{測} = \frac{V}{I} = \frac{( R + r _{A} ) I}{I} = R + r_{A} = 11 Ω (1.0 Ω 過大)$

② 電圧計内蔵型。 電流計は「抵抗の電流+電圧計へ横取りされた電流」の和を読む:

$R_{測} = \frac{V}{I _{R} + I _{V}} = R ∥ r_{V} = \frac{10 \times 90}{10 + 90} = 9.0 Ω (1.0 Ω 過小)$

まとめ 誤差の向きが逆——(1) は必ず大きく、(2) は必ず小さく出る。使い分けの定石は「測る抵抗が大きいなら (1)、小さいなら (2)」( $R ≫ r_{A}$ なら $r_{A}$ の上乗せが相対的に無視でき、 $R ≪ r_{V}$ なら横取りが無視できる)。系統誤差は平均しても消えない——向きと大きさを見積もって配線を選ぶのが実験設計である。

答

(1) $R_{測} = R + r_{A} = 10 + 1.0 = 11 Ω$ (過大) (2) $R_{測} = R ∥ r_{V} = \frac{10 \times 90}{100} = 9.0 Ω$ (過小)。どちらの配線にも固有の系統誤差があり、向きが逆

別解

誤差の相対値で使い分けを定量化するルート。 (1) の相対誤差は $\frac{r _{A}}{R} = 10 %$ 、(2) は約 $\frac{R}{r _{V}} = 11 %$ ——今回の $R = 10 Ω$ はちょうど分かれ目付近である。境界は $\frac{r _{A}}{R} = \frac{R}{r _{V}}$ 、つまり $R = r_{A} r_{V} = 90 \approx 9.5 Ω$ ——幾何平均が配線の分水嶺という美しい結論まで届く。

ポイント

配線ごとに固有の系統誤差
(1) R+rA で過大、(2) R∥rV で過小
分水嶺は √(rA·rV)

よくある間違い

どちらかの配線なら誤差ゼロと考える
誤差の向きを逆にする
偶然誤差と混同し平均で消えるとする