充電の熱は減らせるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンデンサーの充電では、電池がした仕事のちょうど半分が熱になる。これは有名な結果だが、「半分は避けられないのか」と考えてみる。

熱が出るのは、電池の電圧とコンデンサーの電圧に差があり、その差が抵抗にかかるからである。

だとすれば、電圧の差を小さくしていけば熱は減らせるはずである。段階を分けて少しずつ充電する、という発想が出てくる。

① $1$ 回で充電する場合。 最終的な電荷は $Q=CE=1.0\times 10^{-2}\mathrm{C}$ である。

蓄えられるエネルギーは

$$U=\frac{1}{2}C{E}^2=\frac{1}{2}\times 1.0\times 10^{-4}\times 100^2=0.50\mathrm{J}$$

電池がした仕事は、電荷 $Q$ を電圧 $E$ で押し出したぶんである。

$$W=QE=C{E}^2=1.0\mathrm{J}$$

差の $0.50\mathrm{J}$ は、抵抗で熱になっている。

② 抵抗によらない理由。 上の計算に抵抗 $R$ はまったく出てこない。$U$ も $W$ も、$C$ と $E$ だけで決まる。

抵抗を大きくすれば充電はゆっくり進み、電流は小さくなる。しかし時間が長くかかるので、発熱の合計は変わらない。抵抗を $0$ に近づけても(導線だけでも)、$0.50\mathrm{J}$ は必ず熱として失われる。

③ $2$ 段階に分ける。 まず $50\mathrm{V}$ で充電する。

$$Q_1=C\times 50=5.0\times 10^{-3}\mathrm{C}$$

電池の仕事は $50\times 5.0\times 10^{-3}=0.25\mathrm{J}$、蓄えられたのは $\frac{1}{2}\times 10^{-4}\times 50^2=0.125\mathrm{J}$。熱は差の $0.125\mathrm{J}$ である。

次に $100\mathrm{V}$ につなぎかえる。追加の電荷は $Q-Q_1=5.0\times 10^{-3}\mathrm{C}$、電池の仕事は $100\times 5.0\times 10^{-3}=0.50\mathrm{J}$。蓄えられたエネルギーの増加は $0.50-0.125=0.375\mathrm{J}$。熱は $0.50-0.375=0.125\mathrm{J}$ である。

$$(\text{熱の合計})=0.125+0.125=0.25\mathrm{J}$$

$1$ 回で充電したときの半分になった。

④ $n$ 段階。 同じ計算をくり返すと、各段の熱はどれも等しく $\frac{1}{2}C{\left(\frac{E}{n}\right)}^2$ になる。段が $n$ 個あるので

$$(\text{熱の合計})=n\times \frac{1}{2}C\frac{E^2}{n^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{2}C{E}^2$$

$n$ を大きくすれば、熱はいくらでも小さくできる。$10$ 段階なら $0.05\mathrm{J}$ である。

まとめ 「半分が熱になる」は、$1$ 段階で充電する場合の話である。電圧差を小さく保ちながら充電すれば、熱は $\frac{1}{n}$ に減らせる。

発展 — 一歩先へ。 $n\to \infty$ の極限では熱が $0$ になる。これは「無限にゆっくり、電圧差を保たずに変化させれば損失がない」という、熱力学の可逆過程と同じ構造である。

実際の電子回路では、この原理がスイッチング電源に使われている。コンデンサーを直接電池につなぐのではなく、コイルを介して少しずつエネルギーを移すことで、損失を大きく減らしている。

「差があるところで損失が生まれる」——温度差での熱伝導でも、電圧差での充電でも、同じことが起きている。

別解

電圧-電荷のグラフの面積で見るルート。 ③ の結果は、グラフを描くと計算せずに見える。

横軸に電荷 $q$、縦軸に電圧をとる。コンデンサーの電圧は $\frac{q}{C}$ で、原点を通る直線である。

電池がした仕事は「電池の電圧 × 移動した電荷」なので、電池の電圧を高さとする長方形の面積になる。コンデンサーに蓄えられたエネルギーは、直線の下の三角形の面積である。

熱は、その差(長方形から三角形を引いた部分)にあたる。

$1$ 回で充電する場合、長方形の高さは $E$ で一定なので、三角形の上に大きな三角形が残る。これが $\frac{1}{2}C{E}^2$ である。

$2$ 段階にすると、長方形が $2$ つの段に分かれて直線に近づく。段の上に残る三角形は小さくなり、面積は半分になる。

$n$ 段階なら、階段が直線にどんどん近づいていく。$n\to \infty$ で階段が直線に一致し、余りの面積が $0$ になる。

「階段で曲線を近似する」という図を思い浮かべれば、$\frac{1}{n}$ という答えが自然に見えてくる。