起電力の違う電池を並列につなぐ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電池が $2$ 個あるので、どちらから解くか迷いやすい。

しかし並列につながれている以上、$3$ つの枝(電池 $1$、電池 $2$、抵抗 $R$)の両端の電位差はすべて同じである。この共通の値を $V$ とおけば、それぞれの電流が $V$ で書ける。

あとは「流れこむ電流の和 = 流れ出る電流の和」という $1$ 本の式で $V$ が決まる。未知数 $1$ つで済む。

① 端子電圧。 電池 $1$ を流れる電流は、起電力と端子電圧の差を内部抵抗で割ったものである。

$$I_1=\frac{E_1-V}{r_1},I_2=\frac{E_2-V}{r_2},I_R=\frac{V}{R}$$

電流の保存から $I_1+I_2=I_R$、すなわち

$$\frac{12-V}{2}+\frac{6-V}{2}=\frac{V}{2}$$

両辺に $2$ を掛けて

$$(12-V)+(6-V)=V⟹18=3V⟹V=6.0\mathrm{V}$$

② 各電流。

$$I_1=\frac{12-6}{2}=3.0\mathrm{A},I_2=\frac{6-6}{2}=0\mathrm{A},I_R=\frac{6}{2}=3.0\mathrm{A}$$

電池 $2$ にはまったく電流が流れない。端子電圧がちょうど $E_2$ に等しくなったからである。

このとき電池 $2$ は、あってもなくても同じである。実際、電池 $2$ を外して電池 $1$ だけにしても、端子電圧は $12\times \frac{2}{2+2}=6.0\mathrm{V}$ で変わらない。

③ 開放にすると。 $R$ をはずすと $I_R=0$ なので

$$\frac{12-V}{2}+\frac{6-V}{2}=0⟹V=9.0\mathrm{V}$$

$$I_1=\frac{12-9}{2}=1.5\mathrm{A},I_2=\frac{6-9}{2}=-1.5\mathrm{A}$$

電池 $2$ の電流が負である。これは電池 $2$ が充電されている(電流が起電力に逆らって流れこんでいる)ことを意味する。

外部に何もつないでいないのに、$2$ つの電池のあいだをぐるぐる回る電流(循環電流)が $1.5\mathrm{A}$ 流れている。

このとき内部抵抗で発生する熱は

$$P=I^2(r_1+r_2)=1.5^2\times 4.0=9.0\mathrm{W}$$

④ 問題点。 何も使っていないのに、$2$ つの電池のあいだで電流が流れ続け、$9\mathrm{W}$ もの熱を出しながら電池が消耗していく。

しかも電池 $2$ は充電され続けるので、充電に対応していない電池(乾電池など)では液漏れや発熱、破裂の危険がある。

だから起電力の違う電池を並列につないではいけない。同じ種類・同じ状態の電池だけを並列にするのが原則である。

まとめ 並列部分の電位を $1$ つの未知数にとれば、電池が何個あっても $1$ 本の式で解ける。開放でも電流が流れることが、この回路の危険な点である。

発展 — 一歩先へ。 ③ の状況は、内部抵抗が小さいほど危険になる。$r_1=r_2=0.10\Omega$ なら循環電流は $\frac{6}{0.2}=30\mathrm{A}$ にもなり、発熱は $30^2\times 0.2=180\mathrm{W}$ である。

新しい電池と古い電池を混ぜてはいけない、と言われるのはこのためである。内部抵抗が小さい新品ほど、わずかな起電力差でも大きな電流が流れる。

リチウムイオン電池を並列にする機器では、電池ごとに保護回路を入れて電圧をそろえてから接続する。回路の教科書的な問題が、そのまま製品安全の設計につながっている。

別解

等価電源にまとめるルート。 $2$ つの電池の並列部分は、$1$ 個の電池に置きかえられる。

開放電圧は ③ で求めた $9.0\mathrm{V}$ である。内部抵抗は、起電力を取り去って($0$ にして)端子から見た抵抗だから

$$r^{\prime }=\frac{r_1{r}_2}{r_1+r_2}=1.0\Omega$$

つまり「起電力 $9.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $1.0\Omega$ の電池 $1$ 個」と同じである。

これを使えば ① は即座に出る。

$$V=9.0\times \frac{R}{R+r^{\prime }}=9.0\times \frac{2}{3}=6.0\mathrm{V}$$

外部から見るかぎり、この置きかえは完全に正しい。$R$ をいろいろ変えて調べるときは、こちらのほうが速い。

ただし、置きかえた電池では「内部で $1.5\mathrm{A}$ の循環電流が流れて $9\mathrm{W}$ の熱が出ている」ことが見えなくなる。外部から見て同じでも、中で起きていることは違う——等価回路を使うときに忘れてはいけない点である。