平衡していないブリッジ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ブリッジが平衡していれば検流計に電流が流れず、話は簡単である。今回は平衡していないので、そのままでは直並列に分解できない。

キルヒホッフの法則で連立してもよいが、もっと見通しのよい方法がある。検流計から見れば、残りの回路は「ある電池とある抵抗の組」にすぎない。

その $2$ つを求めてしまえば、あとは電池と抵抗が $1$ 個ずつの回路になる。これが等価電源の考え方である。

① 平衡しているか。

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{20}{20}=1,\frac{R_3}{R_4}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$$

等しくないので平衡していない。検流計には電流が流れる。

② 検流計をはずしたときの電位。 はずせば、左右の枝はそれぞれ単純な直列になる。電池の負極を $0\mathrm{V}$ とする。

$$V_{\mathrm{P}}=12\times \frac{R_2}{R_1+R_2}=12\times \frac{20}{40}=6\mathrm{V}$$

$$V_{\mathrm{Q}}=12\times \frac{R_4}{R_3+R_4}=12\times \frac{30}{40}=9\mathrm{V}$$

③ 等価な電池と抵抗。 開放電圧は $2$ 点の電位差である。

$$E^{\prime }=V_{\mathrm{Q}}-V_{\mathrm{P}}=3\mathrm{V}$$

抵抗のほうは、電池を取り去って(起電力を $0$、つまり導線でつないで)PQ から見る。すると P からは $R_1$ と $R_2$ が並列に、Q からは $R_3$ と $R_4$ が並列に見え、それが直列につながる。

$$R^{\prime }=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}=10+7.5=17.5\Omega$$

④ 検流計の電流。 あとは起電力 $3\mathrm{V}$、内部抵抗 $17.5\Omega$ の電池に $2.5\Omega$ をつないだ回路である。

$$I=\frac{3}{17.5+2.5}=\frac{3}{20}=0.15\mathrm{A}$$

電位の高い Q から低い P へ、検流計を通って流れる。

まとめ 平衡していないブリッジは、等価電源に置きかえると $1$ 行で解ける。連立方程式を立てるより、何が起きているかが見えやすい。

発展 — 一歩先へ。 ③ で使った考え方(テブナンの定理)は、どんな複雑な回路にも使える。「$2$ 本の端子から見れば、中身がどうであれ電池 $1$ 個と抵抗 $1$ 個」というのは強力な主張である。

この定理のおかげで、たとえば検流計を別のものに取りかえたときの電流も、$E^{\prime }$ と $R^{\prime }$ を計算し直さずに求められる。$R_{\mathrm{g}}$ を $0$ にすれば $\frac{3}{17.5}\approx 0.17\mathrm{A}$、無限大にすれば $0$ である。

「部品を取りかえるたびに全体を解き直す」必要がなくなるのが、等価回路のいちばんの利点である。

別解

節点の電位を未知数にして連立するルート。 等価電源を使わず、まっすぐキルヒホッフの法則で解くこともできる。

電池の負極を $0\mathrm{V}$、正極を $12\mathrm{V}$ とし、P と Q の電位を $V_{\mathrm{P}},V_{\mathrm{Q}}$ とする。各節点で「流れこむ電流の和 = 流れ出る電流の和」を書く。

節点 P:

$$\frac{V_{\mathrm{P}}-12}{R_1}+\frac{V_{\mathrm{P}}-0}{R_2}+\frac{V_{\mathrm{P}}-V_{\mathrm{Q}}}{R_{\mathrm{g}}}=0$$

節点 Q:

$$\frac{V_{\mathrm{Q}}-12}{R_3}+\frac{V_{\mathrm{Q}}-0}{R_4}+\frac{V_{\mathrm{Q}}-V_{\mathrm{P}}}{R_{\mathrm{g}}}=0$$

数値を入れて整理すると

$$0.5V_{\mathrm{P}}-0.4V_{\mathrm{Q}}=0.6,-0.4V_{\mathrm{P}}+0.5333V_{\mathrm{Q}}=1.2$$

これを解くと $V_{\mathrm{P}}=7.5\mathrm{V}$、$V_{\mathrm{Q}}=7.875\mathrm{V}$ となる。検流計の電流は

$$\frac{V_{\mathrm{Q}}-V_{\mathrm{P}}}{R_{\mathrm{g}}}=\frac{0.375}{2.5}=0.15\mathrm{A}$$

④ と一致する。

注意したいのは、検流計をつないだ状態の $V_{\mathrm{P}},V_{\mathrm{Q}}$($7.5$ と $7.875$)が、はずしたときの値($6$ と $9$)とは違うことである。電流が流れると電位が変わる。等価電源の $E^{\prime }=3\mathrm{V}$ は、あくまで「はずしたとき」の値であることを取り違えないようにしたい。