立方体の抵抗(対称性の名作)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 12 本の連立は書きたくない——対称性で電流を先に配ってしまう。対角線 A-G の周りで立方体は 3 回対称——同格の辺には同じ電流が流れるはずである。

① 電流の配分。 全電流を $I$ とすると:

• A から出る 3 辺: 同格だから $\frac{I}{3}$ ずつ
• 中間の 6 辺: 各分岐でさらに半分ずつ、$\frac{I}{6}$ ずつ
• G へ入る 3 辺: 合流して $\frac{I}{3}$ ずつ

② 1 本の道で電圧を積算。 A→(隣)→(向こう隣)→G とたどると

$$V=r\cdot \frac{I}{3}+r\cdot \frac{I}{6}+r\cdot \frac{I}{3}=\frac{5r}{6}I$$

③ 合成抵抗。

$$R=\frac{V}{I}=\frac{5r}{6}=\frac{5\times 3.0}{6}=2.5\Omega$$

まとめ 等電位の頂点をまとめて描き直すと「$\frac{r}{3}$、$\frac{r}{6}$、$\frac{r}{3}$ の直列」という 1 本道になる(3 本並列→6 本並列→3 本並列)。対称性は連立方程式 12 本を 3 行に圧縮する——「同格の点は等電位・同格の辺は等電流」という見方は、正四面体・格子など対称回路すべての鍵である。

別解

等電位面で束ねて描き直すルート。 A の隣接 3 頂点は等電位——導線で結んでも電流が変わらない。束ねてしまうと、回路は「A→(3 本並列 $=\frac{r}{3}$)→(6 本並列 $=\frac{r}{6}$)→(3 本並列 $=\frac{r}{3}$)→G」の直列に化ける:

$$R=\frac{r}{3}+\frac{r}{6}+\frac{r}{3}=\frac{5r}{6}✓$$

「等電位の点は結んでよい(切ってもよい)」——ブリッジの橋の除去と同じ原理の、立体版の運用である。