物理 / 直流回路

メートルブリッジ

★★ 標準ブリッジ測定

問題

長さ $1.0 m$ の一様な抵抗線を使ったメートルブリッジで、既知抵抗 $R = 4.0 Ω$ と未知抵抗 $R_{x}$ を測る。接点を抵抗線上で動かすと、左端から $40 cm$ の位置で検流計が 0 を示した( $R$ は左側、 $R_{x}$ は右側)。 $R_{x}$ を求めよ。

メートルブリッジ。抵抗線上の接点を動かして平衡点を探す(電源は両端 0-100 cm 間)

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一様な抵抗線は「長さがそのまま抵抗の比」になる目盛り付き抵抗。ホイートストンブリッジの 4 つの抵抗のうち 2 つを、この線の左右の部分が務めている——平衡条件を長さの比で書き直そう。

解答・解説

方針

抵抗線の左右がブリッジの下 2 辺(抵抗∝長さ)。平衡のたすき掛けで R×l2=Rx×l1。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 メートルブリッジはホイートストンブリッジの実用版——4 抵抗のうち 2 つを「一様な抵抗線の左右の部分」で置き換えたものである。一様線では抵抗の比=長さの比( $R = ρ L / S$ で $ρ, S$ 共通)だから、平衡条件が長さで書ける。

① 平衡条件。 左側( $R$ と長さ $l_{1} = 40 cm$ 部分)、右側( $R_{x}$ と $l_{2} = 60 cm$ 部分)で

$\frac{R}{R _{x}} = \frac{l _{1}}{l _{2}} = \frac{40}{60}$

② 解く。

$R_{x} = R \times \frac{l _{2}}{l _{1}} = 4.0 \times \frac{60}{40} = 6.0 Ω$

まとめ ものさしで抵抗が測れる——「長さ∝抵抗」の翻訳が効いている。実験の精度を上げるには接点が中央付近(50 cm 近く)で平衡するよう $R$ を選ぶのがコツ(端に寄ると長さの読み取り誤差が拡大される)——器具の使いこなしまで問う出題がある。

答

一様な線の抵抗は長さに比例するので、平衡条件は $\frac{R}{R _{x}} = \frac{40}{60}$ 。 $R_{x} = 4.0 \times \frac{60}{40} = 6.0 Ω$

別解

平衡条件を電位で再導出するルート。 接点の電位は、抵抗線を $l_{1} : l_{2}$ に分圧した値。 $R$ - $R_{x}$ 枝の中点の電位は $R : R_{x}$ の分圧。両者が等しい条件から $\frac{l _{1}}{l _{2}} = \frac{R}{R _{x}}$ ——基礎のブリッジで作った「分圧比がそろう」の論法がそのまま通る。

公式の暗記でなく、毎回この 3 行で作れることが応用力である。

ポイント

一様線=長さがそのまま抵抗比
R/Rx=l1/l2
中央付近で平衡させると高精度

よくある間違い

長さの比を逆に取る
40:60 を 40:100 とする
線の全抵抗の値が要ると思い込む