物理 / 直流回路

キルヒホッフの法則(2 電池の回路)

★★ 標準キルヒホッフの法則

問題

起電力 $14 V$ の電池と $2.0 Ω$ の抵抗の枝、起電力 $10 V$ の電池と $2.0 Ω$ の抵抗の枝が、 $1.0 Ω$ の抵抗に並列に接続されている(電池の向きはどちらも $1.0 Ω$ に電流を流し込む向き)。各枝の電流 $I_{1}, I_{2}$ と、 $1.0 Ω$ を流れる電流 $I_{3}$ を求めよ。

2 つの電池の枝が 1.0 Ω に合流する回路

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手順は機械的に: (1) 各枝に電流と向きを仮定して名前を付ける、(2) 接続点で第 1 法則、(3) 独立なループ 2 つで第 2 法則。あとは連立方程式の腕力。答えの検算は「使わなかったループ」で。

解答・解説

方針

電流を 3 つ置き、接続点 1 本+独立ループ 2 本の連立。代入して 3I1+I2=14, I1+3I2=10 → I1=4.0, I2=2.0。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電池が 2 個あると合成抵抗では歯が立たない——キルヒホッフの連立の出番である。手順は完全に機械的: 電流に名前→第 1 法則→ループ 2 周。

① 式を立てる。 $I_{1}$ (14 V の枝)、 $I_{2}$ (10 V の枝)、 $I_{3}$ ( $1.0 Ω$ )として

$I_{3} = I_{1} + I_{2} (第 1 法則)$

$14 = 2.0 I_{1} + 1.0 I_{3}, 10 = 2.0 I_{2} + 1.0 I_{3} (第 2 法則)$

② 解く。 $I_{3}$ を消去して

$3 I_{1} + I_{2} = 14, I_{1} + 3 I_{2} = 10$

上式 $\times 3 -$ 下式: $8 I_{1} = 32$ より

$I_{1} = 4.0 A, I_{2} = 2.0 A, I_{3} = 6.0 A$

③ 検算。 外側の大ループ(14 V→10 V): $14 - 10 = 2.0 I_{1} - 2.0 I_{2} = 8.0 - 4.0 = 4.0$ ✓。

まとめ キルヒホッフは「設定は機械的・計算は丁寧に」が全てである。電流の向きを仮定し間違えても、答えが負で出て教えてくれる——向きの悩みに時間を使わないこと。検算は使っていない独立でないループが最良の消費先である。

答

第1法則 $I_{3} = I_{1} + I_{2}$ 、第2法則 $14 = 2.0 I_{1} + 1.0 I_{3}$ 、 $10 = 2.0 I_{2} + 1.0 I_{3}$ 。解いて $I_{1} = 4.0$ 、 $I_{2} = 2.0$ 、 $I_{3} = 6.0 A$

別解

電位を置いて解くルート(節点電位法)。 $1.0 Ω$ の上端の電位を $V$ (下端 0)とすると、各枝の電流が $V$ 1 文字で書ける:

$\frac{14 - V}{2.0} + \frac{10 - V}{2.0} = \frac{V}{1.0}$

$24 - 2 V = 2 V$ より $V = 6.0 V$ —— $I_{3} = 6.0$ 、 $I_{1} = \frac{14 - 6}{2} = 4.0$ 、 $I_{2} = 2.0 A$ 。未知数が 3 つから 1 つに減る——枝が多い回路ほど威力を増す、上級の定石である。

ポイント

電流に名前→第1法則→ループ2周
向きの仮定ミスは負号が教える
節点電位法なら未知数 1 つ

よくある間違い

ループの向きと電流の向きの符号を混線させる
独立でないループを 3 本立てて堂々巡り
検算をせず計算ミスを残す