無限に広がる抵抗の網

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限格子は、直列にも並列にも分解できない。まともに解こうとすると無限個の連立方程式になる。

ここで効くのが $2$ つの原理である。

$1$ つは対称性。$1$ 点から流しこんで無限遠へ逃がすだけなら、$4$ 方向はまったく対等なので電流は等分される。

もう $1$ つは重ね合わせ。回路が線形なので、$2$ つの状況の解を足したものが、電流源を足した状況の解になる。求めたい「A から入れて B から出す」を、単純な $2$ つの和として作る。

① A から流しこむ。 A の $4$ 本は対等なので

$$(\text{各導線の電流})=\frac{I}{4}$$

AB 間の導線にも $\frac{I}{4}$ が、A から B の向きに流れる。

② B から取り出す。 こんどは無限遠から入れて B で取り出す。① と鏡のような関係なので、B につながる $4$ 本それぞれに $\frac{I}{4}$ が流れこむ。

AB 間の導線については、A から B へ向かう向きに $\frac{I}{4}$ である。

③ 重ね合わせ。 ① は「A から入れて無限遠へ」、② は「無限遠から入れて B へ」である。$2$ つを足すと、無限遠での出入りが打ち消し合い、「A から入れて B から出す」が残る。

AB 間の電流は、どちらも同じ向きなので足し算になる。

$$\frac{I}{4}+\frac{I}{4}=\frac{I}{2}$$

この導線 $1$ 本での電位差が、そのまま AB 間の電位差である。

$$V=\frac{I}{2}R$$

④ 合成抵抗。

$$R_{\mathrm{AB}}=\frac{V}{I}=\frac{R}{2}=6\Omega$$

$1$ 点から $n$ 本出る網では、① と ② がそれぞれ $\frac{I}{n}$ になるので

$$R_{\mathrm{AB}}=\frac{2R}{n}$$

三角格子($n=6$)なら $\frac{R}{3}=4\Omega$、蜂の巣格子($n=3$)なら $\frac{2R}{3}=8\Omega$ である。

まとめ 対称性で解ける単純な状況を $2$ つ用意し、重ね合わせて目的の状況を作る。無限に広がる回路でも、この $2$ 手で答えが出る。

発展 — 一歩先へ。 隣り合わない $2$ 点(たとえば斜めに $1$ つずれた点)のあいだの抵抗も同じ考え方で求められるが、計算はぐっと難しくなり、対角の場合は $\frac{2R}{\pi }$ という値になる。円周率が出てくるのは、無限格子の問題がフーリエ変換(積分)に帰着するためである。

隣接の場合だけが対称性できれいに解けるのは、$4$ 本の導線が完全に対等だからである。「対称性が使えるかどうか」で難易度が桁違いに変わる、という好例になっている。

別解

有限の網から近づけるルート。 無限を直接扱うのが不安なら、有限の網で計算して極限を見る方法もある。

$3\times 3$、$5\times 5$、$7\times 7$ …と正方形の網を大きくしていき、中央の隣り合う $2$ 点間の抵抗を計算する。網が大きくなるほど、値は $0.5R$ に近づいていく。

小さい網では、外周が「切れている」ぶん電流の逃げ道が少なく、抵抗は $0.5R$ より大きめに出る。網を広げるにつれて逃げ道が増え、値が下がって収束する。

この方法の利点は、対称性の議論に自信がないときの確認になることである。ただし手計算では $5\times 5$ でも大変なので、実際には対称性と重ね合わせで解くほうがはるかに速い。

「無限のほうが有限より簡単」という逆転が起きるのは、無限だからこそ完全な対称性が使えるからである。有限の網では外周が対称性を壊してしまう。