小さい抵抗をどう測るか(4 端子法)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 測りたい抵抗が $0.010\Omega$、リード線が $0.50\Omega$ である。この時点で、素直につなぐと「測りたいもの」より「邪魔もの」のほうが $100$ 倍大きい。

$2$ 端子法ではこの $2$ つが直列に入ってしまい、区別できない。

そこで、電流を流す役目と電圧を測る役目を別々の導線に分ける。電圧計にはほとんど電流が流れないので、その導線には電圧降下が生じない——これが $4$ 端子法の考え方である。

① $2$ 端子法。 測りたい抵抗の両側にリード線が $1$ 本ずつ直列に入る。

$$R_{\text{測定}}=R+2r_{\ell }=0.010+1.00=1.01\Omega$$

誤差は

$$\frac{1.01-0.010}{0.010}\times 100=1.0\times 10^4\%$$

まったく測れていない。得られた値のほとんどはリード線の抵抗である。

② 電圧用リード線の電流。 電圧計の内部抵抗は $1.0\times 10^6\Omega$、測りたい抵抗の両端の電圧は(電流 $1\mathrm{A}$ を流したとして)$0.010\mathrm{V}$ である。

$$I_V=\frac{0.010}{1.0\times 10^6}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{A}$$

電流を流す側の $1\mathrm{A}$ に比べて $10^{-8}$ 倍で、まったく無視できる。

③ $4$ 端子法の測定値。 電圧用のリード線に流れる電流が $1.0\times 10^{-8}\mathrm{A}$ なので、そこでの電圧降下は

$$1.0\times 10^{-8}\times 0.50=5\times 10^{-9}\mathrm{V}$$

測りたい電圧 $0.010\mathrm{V}$ に対して $10^{-6}$ 倍以下である。したがって電圧計は、抵抗 $R$ の両端の電圧をそのまま読む。

$$R_{\text{測定}}=\frac{0.010}{1.0}=0.010\Omega$$

誤差は $10^{-4}\%$ 程度で、実用上ゼロである。

④ 理由。 リード線の抵抗が測定に入りこむのは、そこに電流が流れて電圧降下が生じるからである。

$4$ 端子法では、電流を流す経路と電圧を測る経路が分かれている。電圧計にはほとんど電流が流れないので、電圧用リード線での電圧降下は無視できる。

電流用リード線には大きな電流が流れるが、その電圧降下は電圧計の測定の外側にあるので、結果に入ってこない。

まとめ 「電流を流す」と「電圧を測る」を別の導線に分ける——それだけで、$100$ 倍も大きい邪魔ものを完全に排除できる。回路の工夫が測定の精度を決める好例である。

発展 — 一歩先へ。 $4$ 端子法は、超伝導の発見にも使われている。超伝導体では抵抗が測定限界以下になるので、リード線の抵抗が残っていては何も言えない。

現代では、半導体の微細な配線の抵抗、電池の内部抵抗、金属の純度評価など、小さい抵抗を測るあらゆる場面で標準的に使われる。

なお、電位差計(電流を流さずに電圧を測る方法)も同じ発想である。「測る対象に影響を与えないように測る」という考え方は、測定という行為そのものの基本原理といえる。

別解

電圧計の内部抵抗を有限として厳密に見るルート。 ③ では「電圧計に電流が流れない」と近似したが、有限であることを認めて計算しても結論は変わらない。

電圧計(内部抵抗 $R_V$)と電圧用リード線 $2$ 本($2r_{\ell }$)が直列になり、その全体が $R$ に並列につながっている。測定される抵抗は

$$R_{\text{測定}}=\frac{R\left(R_V+2r_{\ell }\right)}{R+R_V+2r_{\ell }}$$

数値を入れると $R_V+2r_{\ell }=1.000001\times 10^6$ で、$R$ に比べて桁違いに大きい。

$$R_{\text{測定}}\approx R\left(1-\frac{R}{R_V}\right)=0.010\times \left(1-10^{-8}\right)$$

誤差は $10^{-6}\%$ である。

この形を見ると、$4$ 端子法の誤差を決めるのが $\frac{R}{R_V}$ という比であることが分かる。リード線の抵抗 $r_{\ell }$ は $R_V$ に足されるだけで、$R_V$ が桁違いに大きいので影響しない。

「どの量の比で誤差が決まるか」を式で押さえておくと、装置を選ぶときの判断ができる。ここでは電圧計の内部抵抗さえ十分大きければよい、と分かる。