物理 / 直流回路

端子電圧のグラフから E と r を求める

★★ 標準内部抵抗グラフ

問題

ある電池の端子電圧 $V$ を、流す電流 $I$ を変えながら測ったところ、 $I = 1.0 A$ のとき $V = 1.4 V$ 、 $I = 3.0 A$ のとき $V = 0.60 V$ であった( $V$ - $I$ グラフは直線)。この電池の起電力 $E$ と内部抵抗 $r$ を求めよ。

端子電圧は電流の 1 次関数。切片と傾きに E と r が宿る

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V=E−rI は「切片 E・傾き −r の直線」。2 点あれば直線は決まる——傾きから r、どちらかの点を代入して E。グラフの切片(I=0)の意味も考えよう。

解答・解説

方針

V=E−rI は 1 次関数。2 点から傾き(−r)と切片(E)。r=0.80/2.0=0.40、E=1.8V。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $V = E - r I$ は 1 次関数——グラフの言葉に翻訳すれば「切片が $E$ 、傾きの大きさが $r$ 」。2 点の測定から直線を決めるだけの問題になる。

① 傾き(内部抵抗)。

$r = - \frac{Δ V}{Δ I} = \frac{1.4 - 0.60}{3.0 - 1.0} = \frac{0.80}{2.0} = 0.40 Ω$

② 切片(起電力)。 $(1.0, 1.4)$ を代入:

$E = V + r I = 1.4 + 0.40 \times 1.0 = 1.8 V$

(検算: $I = 3.0$ で $V = 1.8 - 1.2 = 0.60$ ✓)

まとめ 切片 $E$ は「電流を流さないときの端子電圧=起電力」、横軸との交点 $I = \frac{E}{r} = 4.5 A$ は「短絡電流の上限」——直線の両端に物理の意味が宿る。実験データからグラフの傾きと切片で物理量を読むのは、物理実験の最重要技能である(オームの法則・単振り子の $T^{2}$ - $L$ などすべて同型)。

答

$V = E - r I$ より傾き $- r$ : $r = \frac{1.4 - 0.60}{3.0 - 1.0} = 0.40 Ω$ 。 $E = V + r I = 1.4 + 0.40 \times 1.0 = 1.8 V$

別解

連立方程式で機械的に解くルート。 $1.4 = E - 1.0 r$ 、 $0.60 = E - 3.0 r$ ——引き算して $0.80 = 2.0 r$ 、 $r = 0.40$ 、 $E = 1.8 V$ 。グラフを描かなくても 2 式の連立で同じ答えに着く。

グラフ法(視覚的・誤差がならせる)と連立法(速い)——データが 2 点なら連立、多数ならグラフで直線を引く、と使い分けるのが実験の作法である。

ポイント

V=E−rI は切片 E・傾き −r
横軸交点=短絡電流 E/r
傾きと切片で物理量を読む技能

よくある間違い

傾きの符号を忘れ r を負にする
E を V の測定値そのものとする
2 点の差の取り方を逆にする