電池を充電する回路(エネルギー収支)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 充電とは「電流を起電力に逆らって流し込む」こと。回路計算は第 2 法則で逆向き起電力を引き算に入れるだけだが、この問題の主役はエネルギー収支の完全な帳簿である。

① 電流。 一周の式(A の向きを正):

$$12-8.0=(1.0+1.0+2.0)I⟹I=1.0\mathrm{A}$$

② エネルギー収支。 毎秒の帳簿:

• A の供給: $E_{1}I=12\times 1.0=12\mathrm{W}$
• $2.0\Omega$ のジュール熱: $R{I}^2=2.0\mathrm{W}$
• A の内部抵抗: $r_1{I}^2=1.0\mathrm{W}$、B の内部抵抗: $r_2{I}^2=1.0\mathrm{W}$
• B への蓄積(化学エネルギー): $E_{2}I=8.0\times 1.0=8.0\mathrm{W}$

$$12=2.0+1.0+1.0+8.0✓$$

まとめ 「起電力×電流」は、流し出す側では供給、逆らって流し込まれる側では蓄積——同じ形の式が役割を変える。収支の内訳を全部書き出して合計が合うことを確かめる習慣は、電磁誘導の回路(発電機・モーター)でそのまま生きる——「電力の帳簿づけ」は電気物理の決算書である。

別解

充電効率を読むルート。 B に届いた 9.0 W(蓄積 8.0+B 内部の熱 1.0)のうち、化学エネルギーになるのは 8.0 W——B 単体の充電効率は $\frac{8.0}{9.0}\approx 89\%$。回路全体では $\frac{8.0}{12}\approx 67\%$。

急速充電(大電流)ほど $r{I}^2$ の損失が 2 乗で膨らみ、効率が落ちて発熱する——スマホの急速充電が熱くなる理由を、この帳簿がそのまま説明している。