物理 / 直流回路

温度が変わっても値の変わらない抵抗

最難関編抵抗の温度変化直列設計

問題

金属の抵抗は温度とともに増える。温度が $Δ T$ だけ変わったときの抵抗は

$R = R_{0} (1 + α Δ T)$

で表される。 $α$ を抵抗の温度係数という。

いま、 $α_{1} = + 4.0 \times 1 0^{- 3} /K$ の金属でできた抵抗 $R_{1}$ と、 $α_{2} = - 1.0 \times 1 0^{- 2} /K$ の半導体(サーミスタ)でできた抵抗 $R_{2}$ を直列につなぐ。

温度係数の符号が逆の 2 つの抵抗を直列につなぐ。

(1) 直列につないだ合成抵抗を、 $R_{1}, R_{2}, α_{1}, α_{2}, Δ T$ で表せ。

(2) 合成抵抗が温度によらなくなる条件を求めよ。

(3) 合計を $35 Ω$ にしたい。 $R_{1}$ と $R_{2}$ をそれぞれいくらにすればよいか。

(4) (3) の組で $Δ T = 10 K$ のときの $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 、合計をそれぞれ求め、条件が満たされていることを確かめよ。また $R_{1}$ だけを使った場合の変化率と比べよ。

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合成抵抗の式で、 $Δ T$ の係数はどうなるか。それを $0$ にできるのはどんなときか。

解答・解説

方針

直列なので合成抵抗は和である。 $Δ T$ を含む項をまとめ、その係数が $0$ になるようにすればよい。温度係数の符号が逆の材料を組み合わせるのが要点である。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 精密な測定器では、部屋の温度が変わるだけで抵抗値がずれると困る。

そこで、温度が上がると増える材料と、減る材料を組み合わせる。片方が増えたぶんを、もう片方が減って打ち消せば、合計は変わらない。

式にすると、 $Δ T$ の係数を $0$ にするという条件になる。設計の問題が、 $1$ 本の式に翻訳される。

① 合成抵抗。 直列だから和をとる。

$R = R_{1} (1 + α_{1} Δ T) + R_{2} (1 + α_{2} Δ T)$

$= (R_{1} + R_{2}) + (R_{1} α_{1} + R_{2} α_{2}) Δ T$

② 温度によらない条件。 $Δ T$ の係数が $0$ であればよい。

$R_{1} α_{1} + R_{2} α_{2} = 0 ⟹ \frac{R _{1}}{R _{2}} = - \frac{α _{2}}{α _{1}}$

$α_{1}$ と $α_{2}$ の符号が逆でなければ、この比は正にならない。だから「増える材料」と「減る材料」の組み合わせが必要になる。

$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 2}}{4.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.5$

重要温度依存を消すには、符号が逆の温度係数を、抵抗値の比で釣り合わせる

③ 値を決める。 $R_{1} : R_{2} = 2.5 : 1$ で合計が $35 Ω$ だから

$R_{1} = 35 \times \frac{2.5}{3.5} = 25 Ω, R_{2} = 35 \times \frac{1}{3.5} = 10 Ω$

④ 確かめる。 $Δ T = 10 K$ のとき

$R_{1}^{'} = 25 (1 + 4.0 \times 1 0^{- 3} \times 10) = 25 \times 1.04 = 26 Ω$

$R_{2}^{'} = 10 (1 - 1.0 \times 1 0^{- 2} \times 10) = 10 \times 0.90 = 9.0 Ω$

$R_{1}^{'} + R_{2}^{'} = 35 Ω$

金属側が $1.0 Ω$ 増え、サーミスタ側が $1.0 Ω$ 減って、ちょうど打ち消している。

いっぽう $R_{1}$ だけを使った場合は $25 \to 26 Ω$ で、 $4 %$ の変化である。 $10 K$ の温度変化で $4 %$ もずれるのでは、精密な測定には使えない。

温度による抵抗の変化。R1 の増加と R2 の減少がちょうど打ち消し合い、合計は水平になる。

まとめ 直列の和を書いて、 $Δ T$ の係数を $0$ にする。それだけで「温度によらない抵抗」が設計できる。符号の逆の材料を組み合わせるのがカギである。

発展 — 一歩先へ。 同じ発想は、いろいろな場面で使われている。

時計の振り子では、温度で伸びる棒と縮む棒を組み合わせて、振り子の長さを一定に保つ(グリッドアイアン振り子)。

レンズでは、屈折率の温度変化が逆向きのガラスを貼り合わせて、ピント位置が温度で動かないようにする。

いずれも「 $2$ つの逆向きの効果を、比で釣り合わせる」という同じ構造をしている。 $1$ 種類の材料では実現できない性質を、組み合わせでつくり出す——設計の基本的な手筋である。

なお、この打ち消しは $Δ T$ の $1$ 次の項についてのみ成り立つ。温度が大きく変わると $2$ 次以上の項が効いてきて、完全には消えない。

答

$R_{1} + R_{2} + (R_{1} α_{1} + R_{2} α_{2}) Δ T$ 、条件は $R_{1} α_{1} + R_{2} α_{2} = 0$ 、 $R_{1} = 25 Ω$ ・ $R_{2} = 10 Ω$ 、 $Δ T = 10 K$ で $26 Ω$ と $9 Ω$ の合計 $35 Ω$ 、 $R_{1}$ だけなら $4 %$ 変わる

別解

並列にした場合を考えるルート。 直列でなく並列でも、同じように温度依存を消せる。

並列では合成抵抗の逆数(コンダクタンス)が足し算になる。

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1} ( 1 + α _{1} Δ T )} + \frac{1}{R _{2} ( 1 + α _{2} Δ T )}$

$α Δ T$ が小さいとして $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$ を使うと

$\frac{1}{R} \approx \frac{1}{R _{1}} (1 - α_{1} Δ T) + \frac{1}{R _{2}} (1 - α_{2} Δ T)$

$Δ T$ の係数が $0$ になる条件は

$\frac{α _{1}}{R _{1}} + \frac{α _{2}}{R _{2}} = 0 ⟹ \frac{R _{2}}{R _{1}} = - \frac{α _{2}}{α _{1}}$

直列のときと比が逆になる。今回の値なら $R_{2} : R_{1} = 2.5 : 1$ 、つまり $R_{1} = 10 Ω$ 、 $R_{2} = 25 Ω$ で、合成は $\frac{10 \times 25}{35} \approx 7.1 Ω$ である。

直列と並列で条件が「逆比」になるのは、直列では抵抗が、並列ではコンダクタンスが足し算になるからである。「何が足し算になるか」を押さえておけば、条件式は自分で作れる。

ポイント

直列の合成抵抗で ΔT の係数を 0 にする
条件は R1α1+R2α2=0(符号が逆の材料が必要)
抵抗値の比 2.5:1 で釣り合う
打ち消しは 1 次の項についてのみ成り立つ

よくある間違い

同じ符号の材料どうしで打ち消そうとする
温度係数の比をそのまま抵抗の比としてしまう(逆比かつ符号に注意)
並列でも直列と同じ条件が使えると考える(逆比になる)