物理 / 直流回路

平衡ブリッジの合成抵抗

★★ 標準ブリッジ合成抵抗

問題

$R_{1} = 2.0$ 、 $R_{2} = 2.0$ 、 $R_{3} = 4.0$ 、 $R_{4} = 4.0 Ω$ と中央の橋 $R_{5}$ からなるブリッジ回路(左枝が上 $R_{1}$ ・下 $R_{2}$ 、右枝が上 $R_{3}$ ・下 $R_{4}$ )の、電源から見た合成抵抗を求めよ。 $R_{5}$ の値は与えられていない。

ブリッジ回路。A-B 間の合成抵抗を求める(R₅ は値なし)

ヒントを見る

R5 の値がないのは「要らない」というヒント——平衡条件が成り立っていないかをまず確認する。橋に電流が流れないなら、その枝は取り除いても回路は変わらない。

解答・解説

方針

平衡条件を確認→橋の両端が等電位→R5 を除去(または短絡)して単純な直並列に。6.0∥6.0=3.0Ω。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられていない $R_{5}$ ——「値が要らない=橋に電流が流れない」の匂いである。平衡条件を確認して、橋を消してしまう。

① 平衡の確認。

$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{2.0}{2.0} = 1, \frac{R _{3}}{R _{4}} = \frac{4.0}{4.0} = 1$

等しいので平衡——橋の両端は等電位、 $R_{5}$ に電流は流れない。

② 橋を除去して合成。 電流 0 の枝は取り除いても回路は不変。残りは「上の道 $R_{1} + R_{3} = 6.0 Ω$ 」と「下の道 $R_{2} + R_{4} = 6.0 Ω$ 」の並列:

$R = \frac{6.0 \times 6.0}{6.0 + 6.0} = 3.0 Ω$

まとめ 平衡ブリッジでは、橋は取り除いても短絡してもよい(両端が等電位だから、つないでも電流が流れず回路が変わらない)。短絡で計算する場合の組は $R_{1} ∥ R_{2}$ と $R_{3} ∥ R_{4}$ の直列で、 $1.0 + 2.0 = 3.0 Ω$ ——除去の計算と一致する ✓。組を取り違えやすいので、迷ったら除去で計算するのが安全である。値の与えられていない抵抗は「流れない」の合図——出題者のヒントとして読み取れるようになりたい。

答

$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}} = 1$ で平衡→橋 $R_{5}$ には電流が流れず、取り除いてよい。左枝 $2.0 + 2.0 = 4.0$ ? 配置に注意——上辺 $R_{1} + R_{3} = 6.0$ と下辺 $R_{2} + R_{4} = 6.0$ の並列で $3.0 Ω$ ( $R_{5}$ の値によらない)

別解

対称性(電位の鏡映)で見るルート。 上の道と下の道は全く同じ構成( $2.0 \to 4.0$ )——電源から見て上下対称である。対称な 2 点(橋の両端)は同電位——だから橋に電流は流れない、と平衡条件の計算なしで見抜ける。

「同じ構成の枝の対応点は等電位」——立方体抵抗(応用)でフル活用する対称性の目を、ここで慣らしておく。

ポイント

値のない抵抗=流れない合図
平衡→橋を除去して直並列
対称性でも見抜ける

よくある間違い

R5 を含めて連立を始めてしまう
除去と短絡を混同する
上下の道の組を取り違える