コンデンサーの切り替え回路

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 電池なしで接続するので、電荷保存をもとに考える(静電気の単元の再分配と同じ)。この問題の新しい問いは (3) の「抵抗は何を変え、何を変えないか」である。

① 最終状態。 総電荷 $Q=C_1\times 12=2.4\times 10^{-5}\mathrm{C}$ が並列 $6.0\mu \mathrm{F}$ に:

$$V=\frac{2.4\times 10^{-5}}{6.0\times 10^{-6}}=4.0\mathrm{V},Q_1=8.0\mu \mathrm{C},Q_2=16\mu \mathrm{C}$$

② 熱の総量。

$$U_{前}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-6}\times 12^2=1.44\times 10^{-4}\mathrm{J},U_{後}=\frac{1}{2}\times 6.0\times 10^{-6}\times 4.0^2=4.8\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

$$Q_{熱}=U_{前}-U_{後}=9.6\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

③ R を 2 倍にすると。 どちらも変わらない。最終状態は電荷保存と容量だけで決まり($R$ は式に現れない)、熱の総量もエネルギー差で確定する。$R$ が変えるのはそこへ到達する速さ(時定数)だけである。

まとめ 「保存則が決めるもの(終点・総量)と、回路が決めるもの(速さ・配分)」を分けて考える。これが RC 回路のまとめである。$R\to 0$ の極限でも熱は同じだけ出る(火花や電磁波として)。「抵抗ゼロなら熱ゼロ」という直感は、保存則から誤りだと分かる。

別解

エネルギーの比で普遍性を見るルート。 失われる割合は $\frac{U_{前}-U_{後}}{U_{前}}=\frac{C_2}{C_1+C_2}=\frac{4.0}{6.0}=\frac{2}{3}$ である。初期電圧にも $R$ にもよらず、容量の比だけで決まる。空の $C_2$ が大きいほど損失率が上がる($C_2\to \infty$ で全損)。

電荷を分けると、必ずエネルギーを失う。これは不可逆性のいちばん簡単な例で、大学の熱力学(自由膨張)とも同じ構造をもつ。