物理 / 直流回路

コンデンサー 2 個を含む回路

★★★ 応用コンデンサー定常状態

問題

起電力 $12 V$ の電池に $R_{1} = 2.0 Ω$ と $R_{2} = 4.0 Ω$ を直列につなぎ、 $R_{1}$ に並列に $C_{1} = 2.0 μ F$ 、 $R_{2}$ に並列に $C_{2} = 4.0 μ F$ をつないだ。十分に時間がたった後の、(1) 回路の電流 (2) 各コンデンサーの電気量を求めよ。

ヒントを見る

コンデンサーが 2 個に増えても、定常状態の作法は同じ——全部消して抵抗回路を解き、各 C に並列相手の電圧を写す。それぞれの並列相手はどの抵抗か、配線を指でたどって確認しよう。

解答・解説

方針

定常で C 2 個とも断線扱い→抵抗の直列で I と分圧。各 C は並列相手の電圧を写して Q=CV。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンデンサーが何個あっても定常状態の作法は 1 つ——「全部消して抵抗回路を解き、各 C に並列相手の電圧を写す」。

① 電流。 $C_{1}, C_{2}$ を消せば直列:

$I = \frac{12}{2.0 + 4.0} = 2.0 A$

② 各コンデンサー。 分圧は $V_{1} = I R_{1} = 4.0 V$ 、 $V_{2} = I R_{2} = 8.0 V$ :

$Q_{1} = C_{1} V_{1} = 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 4.0 = 8.0 \times 1 0^{- 6} C$

$Q_{2} = C_{2} V_{2} = 4.0 \times 1 0^{- 6} \times 8.0 = 3.2 \times 1 0^{- 5} C$

まとめ 検算: $V_{1} + V_{2} = 12 V$ ✓。電圧の主導権は抵抗側にある(定常では抵抗の分圧がすべてを決め、C は「その電圧を写し取る記録係」)——容量の値は Q にだけ効き、電圧の配分には一切関与しない。この非対称( $V$ は抵抗が決め、 $Q$ は C が決める)が、C 入り回路の急所である。

答

(1) C は電流を流さないので $I = \frac{12}{6.0} = 2.0 A$ (2) $V_{1} = 4.0 V$ 、 $V_{2} = 8.0 V$ より $Q_{1} = C_{1} V_{1} = 8.0 \times 1 0^{- 6} C$ 、 $Q_{2} = C_{2} V_{2} = 3.2 \times 1 0^{- 5} C$

別解

もし抵抗がなかったらと比べるルート。 電池に $C_{1}, C_{2}$ だけを直列につないだ場合は、電圧は容量の逆比( $C_{1} : C_{2} = 1 : 2$ の逆で $8.0 : 4.0 V$ )——今回とは配分が逆転する。抵抗があるかないかで「誰が電圧を決めるか」が入れ替わる——抵抗があれば抵抗の分圧、なければ容量の逆比。2 つの型を対で覚えると、初見の回路でも主導権の所在から読める。

ポイント

全 C を消して抵抗回路を解く
各 C は並列相手の電圧を写す
V は抵抗が決め Q は C が決める

よくある間違い

電圧を容量の逆比で配る(抵抗がある場合は誤り)
Q1=Q2 とする(直列 C の規則との混同)
C にも電流が流れ続けるとする