先細りの導体の抵抗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $R=\frac{\rho L}{S}$ は断面積が一定のときの式である。ここでは $S$ が場所で変わるので、そのままでは使えない。

そこで、薄く輪切りにする。厚さ $\Delta x$ の円板なら、その中では断面積をほぼ一定とみなせる。

そして電流はどの断面も同じだけ通るので、これらの円板は直列につながっている。直列なら足すだけである。

① 半径。 $x=0$ で $a$、$x=L$ で $b$ に一様に変わるから

$$r(x)=a+\frac{(b-a)x}{L}$$

② 足し合わせる。 厚さ $\Delta x$ の円板の抵抗は

$$\Delta R=\frac{\rho \Delta x}{\pi r^2}$$

これを $x=0$ から $L$ まで足す。$r$ を積分変数にすると、$dr=\frac{b-a}{L}dx$ より $dx=\frac{L}{b-a}dr$ だから

$$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{\pi r^2}=\frac{\rho L}{\pi (b-a)}{\int }_a^b\frac{dr}{r^2}=\frac{\rho L}{\pi (b-a)}{\left[-\frac{1}{r}\right]}_a^b$$

$$=\frac{\rho L}{\pi (b-a)}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{\rho L}{\pi (b-a)}\cdot \frac{b-a}{ab}=\frac{\rho L}{\pi ab}$$

$(b-a)$ が約分で消えて、きれいな形になる。

③ 数値。

$$R=\frac{1.7\times 10^{-8}\times 0.10}{3.14\times 1.0\times 10^{-3}\times 2.0\times 10^{-3}}=\frac{1.7\times 10^{-9}}{6.28\times 10^{-6}}\approx 2.7\times 10^{-4}\Omega$$

④ どんな平均か。 ② の結果 $\frac{\rho L}{\pi ab}$ を、一様な棒の式 $\frac{\rho L}{\pi r^2}$ と見比べる。

$$r^2=ab⟹r=\sqrt{ab}$$

正しいのは幾何平均である。$\sqrt{1.0\times 2.0}\times 10^{-3}=1.41\times 10^{-3}\mathrm{m}$。

もし算術平均 $\frac{a+b}{2}=1.5\times 10^{-3}\mathrm{m}$ を使うと

$$R^{\prime }=\frac{1.7\times 10^{-9}}{3.14\times (1.5\times 10^{-3}{)}^2}\approx 2.4\times 10^{-4}\Omega$$

正しい値より約 $11\%$ 小さい。相加平均は相乗平均以上なので、断面積を大きく見積もりすぎて抵抗を小さく出してしまう。

まとめ 変わる量は輪切りにして足す。出てきた答えを既知の式と見比べると、「どんな平均をとればよいか」が読み取れる。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算は、抵抗以外でも顔を出す。同心球コンデンサーの容量や、円筒を通る熱の伝導、パイプの流体抵抗も、「輪切りにして足す」で同じ形の積分になる。

たとえば長さ $L$ の円錐台のパイプを流れる流体の抵抗(ポアズイユの法則)では $\frac{1}{r^4}$ の積分になり、結果は $\frac{8\eta L}{3\pi }\cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a^3{b}^3}$ という別の形になる。

$\frac{1}{r^2}$ か $\frac{1}{r^4}$ かで答えの顔つきが変わる。積分する前に「何の何乗が効くのか」を確かめておくのが大切である。

別解

極端な場合で検算するルート。 出てきた式 $\frac{\rho L}{\pi ab}$ が正しいかどうかは、特別な場合で確かめられる。

まず $b=a$(先細りでない一様な棒)とすると

$$R=\frac{\rho L}{\pi a^2}$$

となり、よく知られた式に一致する ✓

次に $b$ を非常に大きくすると、$R\to 0$ に近づく。太い側の抵抗が無視できるようになるからである。逆に $a$ を $0$ に近づけると $R\to \infty$ で、先端が尖って電流が通れなくなることに対応する ✓

さらに、$a$ と $b$ を入れかえても式は変わらない。これは「どちら向きに電流を流しても抵抗は同じ」という当然の性質と合っている ✓

積分の計算はミスしやすいので、こうした極端な場合と対称性で検算する習慣をもっておくと安心である。特に「入れかえても同じ」という対称性は、答えの形を見ただけで確かめられるので手軽である。