物理 / 直流回路

外部抵抗と消費電力の最大

★★ 標準内部抵抗電力

問題

起電力 $6.0 V$ 、内部抵抗 $1.0 Ω$ の電池に可変抵抗 $R$ をつなぐ。(1) $R$ での消費電力 $P$ を $R$ の式で表せ。 (2) $P$ が最大になる $R$ と、そのときの $P$ を求めよ( $R + \frac{1}{R} \geq 2$ ( $R > 0$ 、等号は $R = 1$ )を使ってよい)。

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R を大きくすると電流が減り、小さくすると分け前が減る。最大は中間のどこかにある。P の逆数(分母/分子)を展開すると、相加相乗平均がぴったり使える形が現れる。

解答・解説

方針

P=RE²/(R+r)²。逆数を R+2+1/R と展開し相加相乗で最小 4 → P 最大 E²/4r。R=r の負荷整合。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $R$ を大きくすれば取り分の割合は増えるが電流が減り、小さくすれば逆になる。これはトレードオフの最大値問題である。微分を使わず、相加相乗平均で切る。

① P の式。 $I = \frac{E}{R + r}$ だから

$P = R I^{2} = \frac{R E ^{2}}{( R + r ) ^{2}} = \frac{36 R}{( R + 1.0 ) ^{2}}$

② 最大値。 逆数の中身を展開:

$\frac{( R + 1 ) ^{2}}{R} = R + 2 + \frac{1}{R} \geq 2 + 2 = 4 (等号は R = 1.0)$

よって $P \leq \frac{36}{4} = 9.0 W$ で、 $R = r = 1.0 Ω$ のとき最大 $9.0 W$ 。

P-R 曲線。両端で 0、R=r=1.0 Ω で山の頂上

まとめ 「外部抵抗=内部抵抗のとき、取り出せる電力が最大」になる。これは負荷整合(インピーダンス整合)と呼ばれ、スピーカーとアンプ、アンテナと受信機など、電気工学のあちこちで使われる原則である。このとき効率は 50 %(内部でも同じだけ発熱)である。最大電力と最大効率は両立しないことも覚えておきたい。

答

(1) $P = R I^{2} = \frac{R E ^{2}}{( R + r ) ^{2}} = \frac{36 R}{( R + 1.0 ) ^{2}}$ (2) $\frac{( R + 1 ) ^{2}}{R} = R + 2 + \frac{1}{R} \geq 4$ より $R = r = 1.0 Ω$ のとき最大 $P = \frac{E ^{2}}{4 r} = 9.0 W$

別解

両極限からグラフの形を推理するルート。 $R \to 0$ : 電流は最大だが取り分 0 で $P \to 0$ 。 $R \to \infty$ : 取り分 100 % だが電流 0 で $P \to 0$ 。両端で 0 なら中間に山がある。その頂上が $R = r$ である。

両端を調べて山と分かってから頂上を探すのは、最大最小問題のいつもの進め方である。グラフの概形(原点から立ち上がり、 $R = 1$ で 9.0 W、緩やかに減衰)まで描けるとよい。

ポイント

P=RE²/(R+r)²
相加相乗で R=r のとき最大 E²/4r
負荷整合・効率は 50 %

よくある間違い

R を大きくするほど P も増えるとする
相加相乗の等号条件を確認しない
内部での発熱を忘れ効率 100 % とする