無限に続くはしご抵抗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 抵抗の数が無限なので、順に合成していく手は使えない。

しかし「無限にくり返す」ことは、むしろ武器になる。$1$ 段ぶん取り除いても、残りはもとと同じ回路だからである。

つまり合成抵抗 $X$ は、「$R$ を直列につなぎ、$R$ と $X$ の並列をつないだもの」に等しい。$X$ が両辺に現れる方程式ができ、これを解けばよい。

① 方程式。 最初の横の抵抗 $R$ の先には、「縦の $R$」と「その先の無限の回路($X$)」が並列につながっている。

$$X=R+\frac{RX}{R+X}$$

分母を払う。

$$X(R+X)=R(R+X)+RX$$

$$RX+X^2=R^2+RX+RX$$

$$X^2-RX-R^2=0$$

② 解く。 $2$ 次方程式の解の公式から($X>0$ をとる)

$$X=\frac{R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R$$

$$X=1.618\cdots \times 1.0\approx 1.6\Omega$$

これは黄金比である。図形にも数列にも現れる比が、抵抗の回路にも顔を出す。

③ 電流。

$$I=\frac{E}{X}=\frac{10}{1.618}\approx 6.2\mathrm{A}$$

④ 段ごとの電流の比。 $1$ 段目の横の抵抗を通った電流は、縦の $R$ と、その先の回路($X$)に分かれる。分かれる比は抵抗の逆比だから

$$\frac{(\text{先へ進む電流})}{(\text{縦へ流れる電流})}=\frac{R}{X}$$

$2$ 段目の縦の抵抗に流れるのは、この「先へ進む電流」がさらに同じ割合で分かれたものである。したがって

$$\frac{(2\text{段目})}{(1\text{段目})}=\frac{R}{X}=\frac{1}{\phi }=\phi -1\approx 0.62$$

段を $1$ つ進むごとに、電流はつねに $0.62$ 倍になる。等比数列である。

まとめ 無限にくり返す回路は、自己相似性を使えば有限の方程式に落ちる。答えに黄金比が出るのは、$X$ の満たす式が $x^2=x+1$ と同じ形になるからである。

発展 — 一歩先へ。 ① の式を、有限の段数から順に計算していくとどうなるか。$1$ 段だけなら $R$、$2$ 段なら $1.5R$、$3$ 段なら $1.6R$、$4$ 段なら $1.615R$ …と、たしかに $1.618R$ に近づいていく。

しかもその値は、フィボナッチ数列の隣り合う $2$ 項の比 $\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\cdots$ そのものである。

「$1$ 段増やす」という操作が、フィボナッチ数列の漸化式と同じ構造をもっているためである。回路の問題が、そのまま数列の問題になっている。

別解

有限の段から極限をとるルート。 自己相似性を使わず、後ろから順に合成していく方法でも解ける。

いちばん奥の $1$ 段だけを考えると、合成抵抗は $X_1=R$ である($R$ が $1$ つ)。

$n$ 段の合成抵抗を $X_n$ とすると、$1$ 段増やす操作は「$X_n$ に $R$ を並列につなぎ、さらに $R$ を直列につなぐ」である。

$$X_{n+1}=R+\frac{R{X}_n}{R+X_n}$$

これは漸化式である。実際に計算すると

$$X_1=1,X_2=1.5,X_3=1.6,X_4\approx 1.615,X_5\approx 1.618,\cdots$$

と収束していく。極限値を $X$ とおくと、$X_{n+1}$ も $X_n$ も $X$ に近づくので

$$X=R+\frac{RX}{R+X}$$

となり、① の式が得られる。

自己相似性を使う解き方は、この極限操作を「はじめから無限」として一気に書いたものである。極限から確かめておくと、「無限だから同じ」という論法が乱暴でないことが納得できる。