光 — レンズ・鏡・光の干渉

真空中の光の速さを $3.0\times 10^{8}m/s$ とする。屈折率 $1.5$ のガラスの中では、(1) 光の速さ (2) 真空中で波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光の波長 はそれぞれいくらになるか。

光が空気中から水(屈折率 $\frac{4}{3}$)へ、入射角 ${\theta }_1$($\sin {\theta }_1=0.80$)で入射した。屈折角 ${\theta }_2$ の正弦 $\sin {\theta }_2$ を求めよ。

屈折率 $\sqrt{2}$ の媒質から空気へ光が出ていくとき、(1) 臨界角 ${\theta }_c$ を求めよ($\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$)。 (2) 入射角が臨界角より大きいとき、光はどうなるか。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $15\mathrm{cm}$ に物体を置いた。(1) 像の位置 (2) 倍率 (3) 像の種類(実像か虚像か、正立か倒立か)を答えよ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $6.0\mathrm{cm}$ に物体を置いた。(1) 像の位置 (2) 倍率 (3) 像の種類 を答えよ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凹レンズの前方 $10\mathrm{cm}$ に物体を置いた。凹レンズでは焦点距離を $f=-10\mathrm{cm}$ として写像公式が使える。(1) 像の位置 (2) 倍率 (3) 像の種類 を答えよ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $20\mathrm{cm}$ に物体を置いた。作図に使える 3 本の基本光線(平行光線・中心光線・焦点光線)を説明し、この配置の像を作図で求めよ。写像公式でも確かめよ。

間隔 $d=2.0\times 10^{-4}\mathrm{m}$ の 2 つのスリットに波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を当て、$l=1.0\mathrm{m}$ 離れたスクリーンに干渉縞を作った。明線の間隔 $\Delta x=\frac{l\lambda }{d}$ を求めよ。

1 mm あたり 500 本の筋が刻まれた回折格子に、波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光を垂直に当てた。(1) 格子定数(筋の間隔)$d$ (2) 1 次の明線($m=1$)の方向の $\sin \theta$ を求めよ。

シャボン玉の膜(屈折率 $n>1$)で反射する光の干渉を考える。膜の表面(空気→膜)での反射と、裏面(膜→空気)での反射のうち、位相が反転する(山谷が入れ替わる)のはどちらか。また、割れる直前のごく薄いシャボン膜が黒く見える理由を説明せよ。

水深 $1.2\mathrm{m}$ のプールの底を真上から見ると、底は実際より浅く見える。見かけの深さ $h^{\prime }=\frac{h}{n}$ を求めよ。水の屈折率を $\frac{4}{3}$ とする。

(1) 白色光をプリズムに通すと虹色の帯(スペクトル)に分かれる。この現象の名前と、赤と紫のどちらが大きく曲げられるかを答えよ。 (2) 昼の空が青く、夕焼けが赤いのはなぜか。「散乱」という言葉を使って説明せよ。

真空中で波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光がある。真空中の光速を $3.0\times 10^{8}m/s$ とする。(1) この光の振動数 (2) 屈折率 $1.5$ のガラスに入ったときの波長 (3) ガラス中でも振動数が変わらないことを、ガラス中の速さと波長から確かめよ。

光ファイバーは、屈折率 $n_1=1.5$ の芯(コア)を屈折率 $n_2=1.2$ の被覆(クラッド)で包んだ構造をもつ。(1) コアとクラッドの境界での臨界角 ${\theta }_c$ の正弦 $\sin {\theta }_c$ を求めよ。 (2) 光がファイバーの中を遠くまで伝わる仕組みを説明せよ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凸レンズで実像を作る。物体をレンズの前方 $15\mathrm{cm}$ から $30\mathrm{cm}$ まで遠ざけたとき、(1) 像の位置はどこからどこへ移るか (2) 倍率はどう変わるか を求め、「物体を遠ざけると像はどうなるか」を一般的に述べよ。

凸レンズでスクリーンに実像を結ばせた状態で、レンズの上半分を不透明な紙で覆った。スクリーンの像はどうなるか。次から選び、理由を説明せよ。(ア) 像の上半分が消える (イ) 像の下半分が消える (ウ) 像は欠けずに全体が暗くなる

空気中で明線間隔が $3.0\mathrm{mm}$ のヤングの実験装置全体を、屈折率 $\frac{4}{3}$ の水の中に沈めた。明線間隔はいくらになるか。

ヤングの実験で、スリット間隔 $d=2.0\times 10^{-4}\mathrm{m}$、スリットからスクリーンまで $l=1.0\mathrm{m}$ のとき、明線の間隔が $3.0\mathrm{mm}$ と測定された。この光の波長を求めよ。また、この実験がなぜ「波長の測定法」として優れているかを、測る量の大きさに注目して述べよ。

格子定数 $d=2.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$ の回折格子に波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光を垂直に当てる。(1) 明線は何次まで現れるか。 (2) スクリーン上に現れる明線は全部で何本か。

屈折率 $1.5$ のガラスレンズの表面に、屈折率 $n=1.25$ の薄膜をコーティングして、波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$(空気中)の光の反射を防ぎたい。垂直入射のとき、(1) 膜の表面・裏面での反射で、位相が反転するのはどちらか。 (2) 反射光どうしが弱め合うための膜の厚さの条件を書き、最小の厚さを求めよ。

2 枚の平らなガラス板を重ね、一端に厚さ $D=3.0\times 10^{-5}\mathrm{m}$ の薄い紙をはさんで、長さ $L=0.10\mathrm{m}$ のくさび形の空気層を作った。真上から波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光を当てると、等間隔の干渉縞が見えた。縞(暗線)の間隔を求めよ。

曲率半径 $R=5.0\mathrm{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、真上から波長 $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光を当てると、接点を中心とする同心円状の縞(ニュートンリング)が見えた。中心から数えて 3 番目の暗環($m=3$)の半径を求めよ。中心からの距離 $r$ での空気層の厚さは $d=\frac{r^2}{2R}$ としてよい。

身長 $160\mathrm{cm}$ の人が、壁の平面鏡で自分の全身を見たい。(1) 必要な鏡の縦の長さの最小値を求めよ。 (2) その答えは、人と鏡の距離によって変わるか。反射の法則を使って説明せよ。

焦点距離 $20\mathrm{cm}$ の凹面鏡の前方 $30\mathrm{cm}$ に物体を置いた。凹面鏡でもレンズと同じ写像公式 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$ が使える($b>0$ は鏡の前方の実像)。(1) 像の位置 (2) 倍率 (3) 像の種類 を答えよ。

間隔 $d$ の 2 スリット $S_1,S_2$ から距離 $l$ のスクリーン上、中央 O から $x$ の点 P での干渉を考える($d,x\ll l$)。(1) 経路差 $S_{2}P-S_{1}P$ が近似的に $\frac{dx}{l}$ と書ける理由を、図を使って説明せよ。 (2) 明線の位置 $x_m$ と明線間隔 $\Delta x$ を求めよ。

ヤングの実験装置の片方のスリット $S_1$ の直前に、厚さ $t=6.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$、屈折率 $n=1.5$ の薄いガラス板を差し込んだ。光の波長は $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ である。(1) ガラス板を通ることで、$S_1$ 側の光路長はいくら増えるか。 (2) 干渉縞は何本分移動するか。また、どちら側(ガラスを入れた側か反対側か)へ動くか。

格子定数 $d=2.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$ の回折格子に白色光(波長 $4.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の紫〜$7.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の赤)を垂直に当てた。(1) 1 次のスペクトルで、紫と赤の $\sin \theta$ をそれぞれ求めよ。スペクトルの内側(中央寄り)はどちらの色か。 (2) 2 次の赤($\sin \theta$)と 3 次の紫($\sin \theta$)を計算し、2 次と 3 次のスペクトルが重なることを示せ。

くさび形空気層の干渉縞の間隔が $1.0\mathrm{mm}$ であった。このすき間を屈折率 $\frac{4}{3}$ の水で満たすと、縞の間隔はいくらになるか。また、明暗の条件(位相反転の数)は変わるか。ガラスの屈折率は $1.5$ とする。

曲率半径 $R$ の平凸レンズを平面ガラスに置いたとき、接点から距離 $r$ の位置の空気層の厚さ $d$ について、(1) 三平方の定理から $r^2=2Rd-d^2$ が成り立つことを示せ。 (2) $d\ll R$ を用いて $d\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似できることを示し、暗環の半径が $r_m=\sqrt{m\lambda R}$ となることを導け。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の凸レンズ $L_1$ の前方 $15\mathrm{cm}$ に物体を置き、$L_1$ の後方 $40\mathrm{cm}$ に焦点距離 $5.0\mathrm{cm}$ の凸レンズ $L_2$ を置いた。(1) $L_1$ が作る像の位置 (2) 最終的な像の位置と全体の倍率 (3) 最終像の向き を求めよ。

深さ $h$ の水底の点 P を、水面のほぼ真上から見る。P から出てほぼ鉛直に進む光が水面で屈折して目に届くとき、目にはP が深さ $h^{\prime }$ にあるように見える。屈折角・入射角が小さいときの近似 $\sin \theta \approx \tan \theta$ を使って、$h^{\prime }=\frac{h}{n}$($n$: 水の屈折率)を導け。

屈折率 $1.25$ の液体の、深さ $3.0\mathrm{m}$ の底に点光源がある。液面を上から見ると、光源の真上を中心とする明るい円が見え、その外側は暗い。(1) 液面から光が外へ出られる限界の角(臨界角)の $\sin {\theta }_c$ と $\tan {\theta }_c$ を求めよ。 (2) 明るい円の半径を求めよ。 (3) 円の外側が暗い理由を述べよ。

水平な平面鏡の面から $h=1.0\mathrm{mm}$ だけ上に、波長 $\lambda =6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を出す細い光源 S を置く。鏡から $L=2.0\mathrm{m}$ 離れた位置に、鏡面に垂直なスクリーンを立てる。

スクリーンには、S から直接届く光と、鏡で反射して届く光が重なって干渉縞ができる。屈折率の大きい媒質(鏡)で反射するとき、光の位相は $\pi$ だけ変わる。

(1) 反射光は、鏡について S と対称な位置にある点 S′ から出た光と同じとみなせる。S と S′ の間隔を求めよ。

(2) 縞の間隔を求めよ。

(3) スクリーン上で、鏡面をそのまま延長した位置(S′ と S の中点の高さ)は明線になるか暗線になるか。理由とともに答えよ。

(4) その位置から数えて $1$ 本目の明線は、鏡面の延長からどれだけ離れた位置にできるか。

光源からの光を半透明の鏡(ハーフミラー)で $2$ つに分け、それぞれを鏡 ${\mathrm{M}}_1$、${\mathrm{M}}_2$ で反射させてもとの位置に戻し、重ね合わせて干渉させる装置をマイケルソン干渉計という。

${\mathrm{M}}_1$ をゆっくり動かすと、視野の中の縞が次々に移動していく。${\mathrm{M}}_1$ を $0.10\mathrm{mm}$ 動かしたところ、縞が $400$ 本ぶん移動した。

(1) 鏡を $x$ だけ動かすと、$2$ つの光の光路差はいくら変わるか。

(2) 光の波長を求めよ。

(3) 縞 $1$ 本ぶんの移動は、鏡の移動距離でいうといくらか。この装置で測れる長さの目安を述べよ。

(4) 一方の腕に、厚さ $t=1.0\times 10^{-5}\mathrm{m}$、屈折率 $n=1.5$ の薄いガラス板を差しこむと、縞は何本ぶん移動するか。

物体とスクリーンを $L=0.90\mathrm{m}$ 離して固定し、そのあいだで凸レンズを前後に動かす。すると、レンズの $2$ つの位置ではっきりした像が結ばれた。

レンズの焦点距離を $f$、物体からレンズまでの距離を $a$、レンズからスクリーンまでの距離を $b$ とする($a+b=L$)。

(1) $a$ が満たす $2$ 次方程式を作り、$f=0.20\mathrm{m}$ のときの $2$ つの位置を求めよ。

(2) $2$ つの位置の間隔 $e$ を求めよ。また $f$ を $L$ と $e$ で表せ。

(3) $2$ つの位置での像の倍率をそれぞれ求め、その積がいくらになるかを述べよ。

(4) 像が結ばれるためには $L$ と $f$ にどんな関係が必要か。

球形の水滴に太陽光が入射し、水滴の内側で $1$ 回反射してから出ていく。入射角を $i$、屈折角を $r$ とすると、光が向きを変える角(偏角)は

$$D=180^{\circ }+2i-4r$$

で与えられる。水の屈折率を $n=\frac{4}{3}$ とする。

太陽光は水滴のいろいろな場所に当たるので、$i$ はさまざまな値をとる。虹が特定の方向に明るく見えるのは、$D$ が最小になる付近に光が集中するからである。

(1) $\sin i=n\sin r$ の両辺を $i$ で微分して、$\frac{dr}{di}$ を $i,r,n$ で表せ。

(2) $D$ が最小になる条件から、$\cos i=\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}$ を導け。

(3) $n=\frac{4}{3}$ のときの入射角と、そのときの偏角 $D$ を求めよ。$\sqrt{7/27}=0.509$、${\cos }^{-1}0.509=59.4^{\circ }$、$\sin 59.4^{\circ }=0.861$、${\sin }^{-1}0.646=40.2^{\circ }$ を用いよ。

(4) 太陽を背にして立ったとき、虹は太陽と反対の方向から何度の角度に見えるか。また紫の光は屈折率が少し大きい($n=1.34$)。赤と紫では、どちらが虹の外側に見えるか。

$1\mathrm{mm}$ あたり $500$ 本の筋が刻まれた回折格子に、波長 $\lambda =6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を当てる。

はじめは格子面に垂直に当て、次に、格子面の法線から $\alpha =30^{\circ }$ 傾けて当てる。回折光の向きは法線から $\theta$ の角とする($\alpha$ と $\theta$ は法線をはさんで反対側にとる)。

(1) 格子定数 $d$ を求めよ。

(2) 垂直に当てたとき、観測できる明線は何本か(中央を含む)。

(3) 斜めに当てたとき、強め合う条件が $d(\sin \theta +\sin \alpha )=m\lambda$ となることを、隣り合うすき間を通る光の行路差から説明せよ。

(4) $\alpha =30^{\circ }$ のとき、観測できる最大の次数と、そのときの回折角を求めよ。${\sin }^{-1}0.70=44.4^{\circ }$ とする。

屈折率 $n_1$ の媒質中の点 A から、屈折率 $n_2$ の媒質中の点 B へ光が進む。境界は平面で、A は境界から $a$、B は境界から $b$ の距離にあり、A と B の境界に沿った距離は $\ell$ である。

境界上の点 P を通る経路を考え、A から境界に沿って測った P の位置を $x$ とする。真空中の光の速さを $c$ とすると、媒質中の速さは $\frac{c}{n}$ である。

(1) A から B まで進むのに要する時間 $T(x)$ を、$a,b,\ell ,x,n_1,n_2,c$ で表せ。

(2) $T(x)$ が最小になる条件から、屈折の法則 $n_1\sin i=n_2\sin r$ を導け($i$ は入射角、$r$ は屈折角)。

(3) 空気($n_1=1$)から水($n_2=\frac{4}{3}$)へ、$\sin i=0.80$ で入射するときの $\sin r$ を求めよ。

(4) 空気の屈折率が地面に近いほど小さい(暑い日の路面付近)とき、光の道すじがどうなるかを、この原理から説明せよ。

焦点距離 $f=0.10\mathrm{m}$、直径 $D=5.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$ の凸レンズを太陽に向け、焦点の位置に紙を置く。

太陽は非常に遠いので、太陽から来る光は平行光線とみなせる。ただし太陽には大きさがあり、地上から見た太陽の視角(見かけの直径)は $\theta =9.3\times 10^{-3}\mathrm{rad}$ である。

地表で太陽光が運ぶエネルギーは、光に垂直な面 $1{\mathrm{m}}^2$ につき毎秒 $1.4\times 10^3\mathrm{J}$ とする。

(1) 焦点の位置にできる太陽の像の直径を求めよ。

(2) その像の直径は、レンズの直径を大きくすると変わるか。理由とともに答えよ。

(3) 像の位置での光の強さ(単位面積あたりの毎秒のエネルギー)は、もとの太陽光の何倍か。

(4) 焦点距離が $2$ 倍のレンズに変えると、像の大きさと光の強さはそれぞれどうなるか。

厚さ $t=3.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$、屈折率 $n=1.5$ の平行平面ガラス板に、光線を入射角 $i=60^{\circ }$ で当てる。

$\sin 60^{\circ }=0.866$、${\sin }^{-1}0.577=35.3^{\circ }$、$\sin 24.7^{\circ }=0.418$、$\cos 35.3^{\circ }=0.816$ を用いよ。

(1) ガラス中の屈折角を求めよ。

(2) ガラス板を出た光線が、入射光線と平行になることを示せ。

(3) 出ていく光線は、入射光線の延長からどれだけ横にずれるか。ずれの大きさ $s$ を $t,i,r$ で表し、値を求めよ。

(4) 入射角が小さいとき、$s\approx ti\left(1-\frac{1}{n}\right)$ と近似できることを示せ($i$ はラジアン)。