物理 / 光

回折格子

★ 基礎回折格子

問題

1 mm あたり 500 本の筋が刻まれた回折格子に、波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の光を垂直に当てた。(1) 格子定数(筋の間隔) $d$ (2) 1 次の明線( $m = 1$ )の方向の $sin θ$ を求めよ。

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格子定数は「1 本あたりの幅」なので、1 mm を本数で割る。明線条件は、隣り合うすき間からの光の経路差 d sinθ が波長の整数倍になる方向。

解答・解説

方針

d=1mm/500本。明線条件 d sinθ=mλ に m=1 を代入。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回折格子は「スリットが何千本もあるヤングの実験」である。隣どうしの経路差 $d sin θ$ が $mλ$ になる方向では、全部のすき間からの光が一斉に強め合う。だから鋭く明るい線になる。

① 格子定数。

$d = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{500} = 2.0 \times 1 0^{- 6} m$

公式回折格子の明線条件:

d sin θ = mλ

(

m = 0, 1, 2, \dots

)

② 1 次の方向。

$sin θ = \frac{mλ}{d} = \frac{1 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.30$

すべてのすき間からの光がそろって強め合う方向に明線

まとめヤングの実験の縞はぼんやり広がるが、回折格子の明線は鋭い。条件から少しでもずれた方向では、何千本の光の位相がばらけて完全に打ち消し合うからである。この鋭さが波長の精密測定(分光)を可能にし、CD・DVD の裏面が虹色に光るのも、トラックの溝が回折格子として働くからである。

答

(1) $d = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{500} = 2.0 \times 1 0^{- 6} m$ (2) $d sin θ = mλ$ より $sin θ = \frac{6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.30$

別解

ヤングとの対応で覚えるルート。 ヤングの明線条件は経路差 $\frac{d x}{l} = mλ$ 、回折格子は $d sin θ = mλ$ である。どちらも「隣との経路差= $mλ$ 」で、幾何の書き方( $\frac{x}{l}$ か $sin θ$ か)が違うだけである。

ヤングは角度が小さいので $sin θ \approx tan θ = \frac{x}{l}$ と置き換えた形、と理解すれば、公式が 2 つでなく 1 つに減る。

ポイント

d=1mm÷本数
d sinθ=mλ(隣との経路差)
多スリット→鋭い明線(分光)

よくある間違い

d を 500 m と誤読する
sinθ が 1 を超えても気にしない
ヤングの式と混ぜて l を探す